Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
3. Зоны Бриллюэна
Если в
k
- пространстве построить обратную решетку, растянутую в
2π раз, т. е. решетку с векторами 2πa
*
, 2πb
*
, 2πc
*
, то все k-пространство
можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные
состояния. Эти области называют зонами Бриллюэна. Многогранник
минимального объема, построенный в k-пространстве вокруг начала
координат и содержащий все возможные различные состояния, называют
первой , или основной , зоной Бриллюэна.
Для построения зон Бриллюэна обычно используется следующий
способ. Какой -то узел обратной решетки , растянутой в 2π раз, выбирают в
качестве начала координат и соединяют его прямыми линиями с
ближайшими к нему узлами . Через середины этих линий перпендикулярно
к ним проводят плоскости. Ограниченный этими плоскостями наименьший
многогранник, содержащий внутри себя начало координат , и является
первой зоной Бриллюэна. Другими словами , первая зона Бриллюэна
представляет собой элементарную ячейку Вигнера – Зейтца для обратной
решетки , растянутую в 2
π
раз.
Рассмотрим в качестве примера простую кубическую решетку с
параметром ячейки , равным а. Обратная решетка для нее также простая
кубическая , причем a
*
= 1/a. Ячейка Вигнера – Зейтца в k - пространстве ,
т. е. первая зона Бриллюэна, представляет собой в этом случае куб
объемом (2π)
3
/a
3
. Все неэквивалентные значения компонентов вектора k
при этом лежат в интервалах :
.
a
k
a
;
a
k
a
;
a
k
a
zyx
π
≤≤
π
−
π
≤≤
π
−
π
≤≤
π
− (13)
Первые эоны Бриллюэна для простой , объемноцентрированной и
гранецентрированной кубических решеток показаны на рис.1.
Эквивалентность физических состояний, принадлежащих различным зонам
Бриллюэна, позволяет при движении электрона в k - пространстве
рассматривать его траекторию только в пределах первой зоны Бриллюэна.
a) б ) с )
Рис. 1. Первая зона Бриллюэна для простой (а), объемно-
центрированной (б ) и гранецентрированной (с) кубических решеток. 
                                         9
                              3. Зоны Бриллю эна

       Е сли вk-прост ранст ве пост рои т ь обрат ную реш ет ку, раст янут ую в
2π раз, т . е. реш ет ку с вект орами 2πa*, 2πb*, 2πc*, т о все k-прост ранст во
мож но раздели т ь наобласт и , вкот оры х и мею т ся ф и зи чески э кви валент ны е
сост ояни я. Э т и област и назы ваю т зонами Бри ллю э на. М ногогранни к
ми ни мального объема, пост роенны й в k-прост ранст ве вокруг начала
коорди нат и содерж ащ и й все возмож ны е разли чны е сост ояни я, назы ваю т
первой , и ли основной , зоной Бри ллю э на.
       Д ля пост роени я зон Бри ллю э на обы чно и спользует ся следую щ и й
способ. К акой -т о узел обрат ной реш ет ки , раст янут ой в2π раз, вы би раю т в
качест ве начала коорди нат и соеди няю т его прямы ми ли ни ями с
бли ж ай ш и ми к немуузлами . Ч ерез середи ны э т и х ли ни й перпенди кулярно
к ни м проводят плоскост и . О грани ченны й э т и ми плоскост ями наи меньш и й
многогранни к, содерж ащ и й внут ри себя начало коорди нат , и являет ся
первой зоной Бри ллю э на. Д руги ми словами , первая зона Бри ллю э на
предст авляет собой э лемент арную ячей ку В и гнера – Зей т ца для обрат ной
реш ет ки , раст янут ую в2π раз.
       Рассмот ри м в качест ве при мера прост ую куби ческую реш ет ку с
парамет ром ячей ки , равны м а. О брат ная реш ет ка для нее т акж е прост ая
куби ческая, при чем a* = 1/a. Я чей ка В и гнера – Зей т ца вk-прост ранст ве,
т . е. первая зона Бри ллю э на, предст авляет собой в э т ом случае куб
объемом (2π)3/a3. В се неэ кви валент ны е значени я компонент оввект ора k
при э т ом леж ат ви нт ервалах :
                   π        π         π           π       π         π
                 − ≤ kx ≤ ;         − ≤ ky ≤ ;           − ≤ kz ≤ .              (13)
                   a        a         a           a       a         a
       П ервы е э оны Бри ллю э на для прост ой , объемноцент ри рованной и
гранецент ри рованной        куби чески х     реш ет ок показаны         на ри с.1.
Э кви валент ност ь ф и зи чески х сост ояни й , при надлеж ащ и х разли чны м зонам
Бри ллю э на, позволяет при дви ж ени и э лект рона в k-прост ранст ве
рассмат ри ват ь его т раект ори ю т олько впределах первой зоны Бри ллю э на.




              a)                          б)                       с)

      Ри с. 1. П ервая зона Бри ллю э на для прост ой (а), объемно-
цент ри рованной (б ) и гранецент ри рованной (с ) куби чески х реш ет ок.

Страницы