Статистика электронов и дырок в полупроводниках. Бормонтов Е.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Полученные выражения (12) и (13) разъясняют смысл названия
«эффективная плотность состояний» в зонах для величин N
c
и N
v
.
Экспоненциальный множитель в выражении (12) для невырожденного
полупроводника (распределение Максвелла – Больцмана) дает вероятность
заполнения квантового состояния с энергией Е
с
. Поэтому формула (12)
означает , что для невырожденного полупроводника концентрация
подвижных электронов получается такой же, как если бы вместо
непрерывного распределения состояний в зоне в каждой единице объема
было N
c
состояний с одинаковой энергией E
c
. Аналогично,
экспоненциальный множитель в (13) выражает вероятность того, что
состояние с энергией E
v
не занято электроном, и потому формула (13)
показывает , что при подсчете концентрации дырок валентную зону можно
заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией E
v
, число
которых в каждой единице объема есть N
v
.
До сих пор мы считали закон дисперсии изотропным и
параболическим. Весьма часто, однако, приходится иметь дело и с более
сложными случаями . Так , например, для зоны проводимости в германии и
кремнии изоэнергетические поверхности являются эллипсоидами
вращения. Центры этих эллипсоидов не совпадают с центром зоны
Бриллюэна и поэтому в ней имеется несколько эквивалентных минимумов
энергии. Тем не менее и в этом случае концентрация электронов может
быть рассчитана по формуле (12) с заменой m
n
в выражении (6) на
некоторую величину m
dn
, называемую эффективной (скалярной ) массой
плотности состояний. При этом
m
dn
= Q
2/3
(m
x
m
y
m
z
)
1/3
,
где m
x
, m
y
, m
z
- главные значения тензора эффективной массы , а Q -
число эквивалентных минимумов в зоне проводимости полупроводника.
Полагая в выражении (12) m
n
равным массе изолированного
электрона m
o
и Т = 300 К , мы получим N
v
= 2,510
*
10
19
см
-3
. Для какой -
либо другой температуры и иной эффективной массы мы имеем
N
c(v)
= 2,510
*
10
19
(m
dn(p)
/m
o
)
3/2
(T /300)
3/2
см
-3
, (14)
где m
dn(p)
– эффективная масса плотности состояний электронов или ,
соответственно, дырок. В невырожденных полупроводниках концентрация
основных носителей мала по сравнению с N
c
и N
v
. В вырожденных
полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя
измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями
величин N
c
и N
v
, полученными по формуле (14), можно сразу установить,
является ли данный полупроводник вырожденным или нет .
Так как эффективная масса входит в выражения n и p только в виде
множителя m
3/2
, в то время как уровень Ферми F входит в показатель
степени , то отношение n/p зависит главным образом от положения F 
                                         10

        П олученны е вы раж ени я (12) и (13) разъясняю т смы сл названи я
«э ф ф ект и вная плотност ь состояни й » в зонах для вели чи н Nc и Nv.
Э кспоненци альны й множ и т ель в вы раж ени и (12) для невы рож денного
полупроводни ка(распределени еМ аксвелла–Больцмана) дает вероятност ь
заполнени я квант ового сост ояни я с э нерги ей Е с . П оэ тому ф ормула (12)
означает, что для невы рож денного полупроводни ка концентраци я
подви ж ны х э лект ронов получает ся такой ж е, как если бы вместо
непреры вного распределени я состояни й взоне вкаж дой еди ни це объема
бы ло Nc состояни й         с оди наковой      э нерги ей    Ec. А налоги чно,
э кспоненци альны й множ и т ель в (13) вы раж ает вероятност ь того, что
состояни е с э нерги ей Ev не занято э лект роном, и потому ф ормула (13)
показы вает , что при подсчет еконцентраци и ды рок валент ную зону мож но
замени т ь совокупност ью состояни й с оди наковой э нерги ей Ev , чи сло
кот оры х вкаж дой еди ни цеобъемаест ь Nv .
        Д о си х пор мы счи тали закон ди сперси и и зотропны м и
параболи чески м. В есьма часто, однако, при ходи тся и мет ь дело и с более
слож ны ми случаями . Т ак, напри мер, для зоны проводи мост и вгермани и и
кремни и и зоэ нергет и чески е поверхности являю т ся э лли псои дами
вращ ени я. Ц ентры э т и х э лли псои дов не совпадаю т с цент ром зоны
Бри ллю э наи поэ тому вней и меет ся несколько э кви валентны х ми ни мумов
э нерги и . Т ем не менее и вэ том случае концентраци я э лект роновмож ет
бы т ь рассчи т ана по ф ормуле (12) с заменой mn в вы раж ени и (6) на
некот орую вели чи ну mdn , назы ваемую э ф ф ект и вной (скалярной ) массой
плотности состояни й . П ри э том

                             mdn = Q2/3 (mxmymz)1/3 ,

где mx , my , mz - главны е значени я тензора э ф ф ект и вной массы , а Q -
чи сло э кви валент ны х ми ни мумоввзонепроводи мост и полупроводни ка.
       П олагая в вы раж ени и (12) mn равны м массе и золи рованного
э лект рона mo и Т = 300 К , мы получи м Nv = 2,510*1019 см-3 . Д ля какой -
ли бо другой т емперат уры и и ной э ф ф ект и вной массы мы и меем

              Nc(v) = 2,510*1019 (mdn(p) /mo)3/2 (T /300)3/2 см-3 ,       (14)

где mdn(p) – э ф ф ект и вная масса плотности состояни й э лект ронов и ли ,
соот вет ст венно, ды рок. В невы рож денны х полупроводни ках концентраци я
основны х носи телей мала по сравнени ю с Nc и Nv. В вы рож денны х
полупроводни ках и меет место обратное. П оэ т ому, сопоставляя
и змеренны е значени я концентраци и э лект ронови ды рок со значени ями
вели чи н Nc и Nv , полученны ми по ф ормуле(14), мож но сразу уст анови т ь,
являет ся ли данны й полупроводни к вы рож денны м и ли нет.
      Т ак как э ф ф ект и вная массавходи т ввы раж ени я n и p т олько вви де
множ и теля m3/2 , вт о время как уровень Ф ерми F входи т впоказатель
ст епени , то отнош ени е n/p зави си т главны м образом от полож ени я F

Страницы