Статистика электронов и дырок в полупроводниках. Бормонтов Е.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Эта величина получила название эффективной плотности состояний в
зоне проводимости. Тогда нетрудно убедиться , что интеграл (4) принимает
вид
n = N
c
Φ
1/2
(η
*
) , (7)
где
∫
∞
η−+
π
=η
0
21
21
1
2
)xexp(
dxx
)(Ф
*
/
*
/
. (8)
Значение интеграла (8) зависит только от параметра η
*
, т.е. химического
потенциала, и температуры . Этот интеграл известен как интеграл Ферми –
Дирака (или , точнее, интеграл Ферми – Дирака с индексом ½ ) и в общем
случае не выражается через элементарные функции.
Рассуждая аналогично, легко найти выражение для концентрации
дырок в валентной зоне. Отличия от предыдущего случая заключаются
лишь в том, что мы , во - первых, должны использовать выражение (2а) для
плотности состояний в валентной зоне. Во-вторых, мы должны
подсчитывать не число заполненных, а число незанятых состояний. И ,
наконец, интегрирование по энергиям нужно производить в пределах
валентной зоны . Поэтому
,dE)T,E(f)E(gp
v
E
pv
∫
∞−
=
(9)
или , подставляя выражение (2а) для g
v
(E) и (3а) для f
p
(E,T), получим
∫
∞
−
+
−
π=
c
E
kT
EF
vp
e
dE)EE(
h
m
p
1
2
4
2
1
2
3
2
. (9а)
Вводя , как и выше, безразмерную переменную y = (E
v
– E) / kT и
безразмерный параметр ζ
*
= ζ / kT , мы приходим к формуле, аналогичной
соотношению (7):
p = N
v
Φ
1/2
(ζ
*
) . (10)
Здесь N
v
есть эффективная плотность состояний в валентной зоне:
N
v
= 2(2πm
p
kT / h
2
)
3/2
,
(11)
а Φ
1/2
(ζ
*
) – прежний интеграл Ферми (8). Однако теперь он содержит
другой параметр ζ
*
, характеризующий положение уровня Ферми
относительно края валентной зоны . Разность ζ = E
v
– F = - η - E
g
носит
название химического потенциала для дырок.
Выражения (7) и (10) для концентраций подвижных электронов и
дырок значительно упрощаются в двух предельных случаях, которые мы
рассмотрим более подробно . 
                                                      8

Э т а вели чи на получи ла названи е э ф ф ект и вной плотности состояни й в
зонепроводи мости . Т огданетрудно убеди т ься, что и нт еграл (4) при ни мает
ви д
                            n = Nc Φ1/2 (η*) ,                             (7)
где
                               2 ∞       x 1 / 2 dx
                 Ф 1/ 2( η ) =    ∫
                          *
                                                      .                        (8)
                                π 0 1 + exp( x − η* )
Значени е и нт еграла (8) зави си т т олько от параметра η* , т .е. хи ми ческого
пот енци ала, и т емперат уры . Э тот и нт еграл и звест ен как и нт еграл Ф ерми –
Д и рака (и ли , точнее, и нтеграл Ф ерми –Д и рака си ндексом ½ ) и вобщ ем
случаеневы раж ается через э лементарны еф ункци и .
       Рассуж дая аналоги чно, легко най т и вы раж ени е для концентраци и
ды рок ввалентной зоне. О т ли чи я от преды дущ его случая заклю чаю т ся
ли ш ь вт ом, что мы , во-первы х, долж ны и спользоват ь вы раж ени е (2а) для
плотности сост ояни й в валентной зоне. В о-вторы х, мы долж ны
подсчи ты ват ь не чи сло заполненны х, а чи сло незаняты х сост ояни й . И ,
наконец, и нтегри ровани е по э нерги ям нуж но прои зводи т ь в пределах
валент ной зоны . П оэ т ому
                               Ev
                        p=     ∫ g v ( E ) f p ( E ,T )dE ,
                              −∞
                                                                               (9)
и ли , подст авляя вы раж ени е(2а) для gv(E) и (3а) для fp(E,T), получи м
                                            3                         1
                               2m p           2 ∞
                                                      ( E v − E ) 2 dE
                       p = 4π 2              ∫            F −E
                                                                          .   (9а)
                               h               Ec
                                                          e    kT
                                                                     +1

      В водя, как и вы ш е, безразмерную переменную y = (Ev – E) / kT и
безразмерны й парамет р ζ* = ζ / kT , мы при ходи м к ф ормуле, аналоги чной
соот нош ени ю (7):
                             p = Nv Φ1/2 (ζ*) .                          (10)

Здесь Nv ест ь э ф ф ект и вная плотност ь состояни й ввалентной зоне:

                              Nv = 2(2πmpkT / h2)3/2 ,                        (11)

а Φ1/2 (ζ*) – преж ни й и нт еграл Ф ерми (8). О днако т еперь он содерж и т
другой парамет р ζ*, характ ери зую щ и й полож ени е уровня Ф ерми
от носи т ельно края валент ной зоны . Разност ь ζ = Ev – F = - η - Eg носи т
названи ехи ми ческого пот енци аладля ды рок.
      В ы раж ени я (7) и (10) для концентраци й подви ж ны х э лект ронови
ды рок значи т ельно упрощ аю тся вдвух предельны х случаях, которы е мы
рассмотри м болееподробно.

Страницы