Статистика электронов и дырок в полупроводниках. Бормонтов Е.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
и оно переходит в распределение Максвелла – Больцмана классической
статистики
f = C exp (- E / kT) , (3б)
где С – постоянная . В этом случае мы говорим, что электронный газ не
вырожден. Аналогично, в полупроводнике р - типа для отсутствия
вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми F тоже
лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии E
v
хотя
бы на (2–3) kT. Противоположный случай , когда уровень Ферми
расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны , есть
случай вырожденного электронного или , соответственно , дырочного газа.
В этом случае существенно необходимо пользоваться распределением
Ферми – Дирака (3) или (3а).
В дальнейшем при вычислении концентраций подвижных и
связанных носителей заряда мы разделим задачу на две части. Сначала мы
выразим эти концентрации через уровень Ферми , а затем рассмотрим, как
определить положение самого уровня Ферми .
3. Концентрации электронов и дырок в зонах
Согласно сказанному выше, концентрация свободных электронов в
зоне проводимости полупроводника равна
∫
∞
=
Ec
.dE)T,E(f)E(gn
(4)
Отметим, что в качестве верхнего предела интегрирования мы должны
были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Однако так как
функция f для значений энергий E > F быстро убывает с увеличением Е ,
то замена верхнего предела на бесконечность практически не меняет
значения интеграла.
Подставляя в (4) выражение (2) для g(E) и (3) для f(E,T), получим
∫
∞
−
+
−
π=
c
E
kT
FE
cn
e
dE)EE(
h
m
n
1
2
4
2
1
2
3
2
. (4а)
Интеграл (4а) удобно представить в следующем виде. Выберем
новую переменную интегрирования x = (E – E
c
) / kT и введем обозначения
η = F – E
с
, η
*
= η / kT. (5)
Величина η носит назване химического потенциала для электронов, а η
*
-
его безразмерное значение. Обозначим, наконец, для сокращения
N
c
= 2(2πm
n
kT / h
2
)
3/2
. (6) 
                                       7

и оно переходи т враспределени е М аксвелла – Больцмана класси ческой
ст ат и сти ки
                           f = C exp (- E / kT) ,                 (3б)

где С – пост оянная. В э том случае мы говори м, что э лект ронны й газ не
вы рож ден. А налоги чно, в полупроводни ке р -ти па для от сут ст ви я
вы рож дени я ды рочного газа необходи мо, чтобы уровень Ф ерми F т ож е
леж ал внут ри запрещ енной зоны и бы л располож ен вы ш еэ нерги и Ev хот я
бы на (2–3) kT. П роти вополож ны й случай , когда уровень Ф ерми
располож ен внут ри зоны проводи мости и ли внут ри валент ной зоны , ест ь
случай вы рож денного э лект ронного и ли , соот вет ст венно, ды рочного газа.
В э т ом случае сущ ест венно необходи мо пользоват ься распределени ем
Ф ерми –Д и рака(3) и ли (3а).
       В дальней ш ем при вы чи слени и концент раци й подви ж ны х и
связанны х носи т елей зарядамы раздели м задачу надвечаст и . Сначаламы
вы рази м э т и концент раци и через уровень Ф ерми , а зат ем рассмотри м, как
определи т ь полож ени есамого уровня Ф ерми .

            3. К онцентрацииэ
                            лек тронов идырок в зонах

     Согласно сказанному вы ш е, концентраци я свободны х э лект роновв
зонепроводи мост и полупроводни каравна
                                  ∞
                             n=   ∫ g ( E ) f ( E ,T )dE .
                                  Ec
                                                                             (4)
О тмет и м, что вкачест ве верхнего предела и нт егри ровани я мы долж ны
бы ли бы взят ь э нерги ю верхнего края зоны проводи мости . О днако т ак как
ф ункци я f для значени й э нерги й E > F бы стро убы вает сувели чени ем Е ,
т о замена верхнего предела на бесконечност ь практи чески не меняет
значени я и нт еграла.
      П одставляя в(4) вы раж ени е(2) для g(E) и (3) для f(E,T), получи м
                                           3                      1
                                 2m          2 ∞
                                                     ( E − E c ) 2 dE
                          n = 4π 2 n          ∫           E−F
                                                                        .   (4а)
                                 h            Ec
                                                        e    kT
                                                                  +1

     И нт еграл (4а) удобно предст ави т ь в следую щ ем ви де. В ы берем
новую переменную и нт егри ровани я x = (E – Ec) / kT и введем обозначени я

                            η = F – Eс ,             η* = η / kT.            (5)

В ели чи наη носи т названехи ми ческого потенци аладля э лектронов, аη* -
его безразмерноезначени е. О бозначи м, наконец, для сокращ ени я

                               Nc = 2(2πmnkT / h2)3/2 .                     (6)

Страницы