Статистика электронов и дырок в полупроводниках. Бормонтов Е.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
1. Распределение квантовых состояний в зонах
Как показывает зонная теория, стационарные состояния электрона в
идеальном кристалле характеризуются волновым вектором k или квази -
импульсом p = h k. При этом в кристалле единичного объема каждому
значению р соответствует элементарная ячейка зоны Бриллюэна объемом
h
3
. Поэтому в элементе объема зоны Бриллюэна dV
p
находится dN = 2dV
p
/h
3
квантовых состояний, где множитель 2 учитывает две возможные
ориентации спина.
В термодинамическом равновесии вероятность заполнения
квантовых состояний электронами зависит только от их энергии Е и
температуры , поэтому в качестве dV
p
удобно выбрать элемент объема,
заключенный между двумя бесконечно близкими изоэнергетическими
поверхностями . При этом изменение энергии электрона на dЕ
равносильно изменению его импульса на dp. Число состояний,
соответствующих интервалу энергий dЕ можно представить в виде
dN(E) = g(E) dE , где g(E) – функция, показывающая , как изменяется
плотность квантовых состояний в зависимости от энергии.
Точное вычисление функции g(E) не просто, так как поверхности
постоянной энергии имеют сложную форму. Однако, во многих случаях
оказывается достаточным знать функцию g(E) только вблизи краев зон,
отчего задача существенно упрощается .
Рассмотрим простейший случай изотропного параболического
закона дисперсии. Тогда для полной энергии электрона можно написать
E = E
c
+ p
2
/m
n
, (1)
при этом квазиимпульс электрона p отсчитывается от его значения,
соответствующего E
c
. Далее dV
p
есть объем сферического слоя 4πp
2
dp.
Из (1) имеем
p = (2m
n
)
1/2
(E – E
c
)
1/2
, dp = (2m
n
)
1/2
(E – E
c
)
-1/2
dE/2 .
Поэтому
g(E) = 4π (2m
n
/h
2
)
3/2
(E – E
c
)
1/2
. (2)
Распределение квантовых состояний в валентной зоне получается с
помощью аналогичных рассуждений и в случае параболического закона
дисперсии вблизи края валентной зоны E
v
имеет вид
g
v
(E) = 4π (2m
p
/h
2
)
3/2
(E
v
– E)
1/2
. (2а) 
                                           5

             1. Р аспределение к в антов ых состояний в зонах

       К ак показы вает зонная т еори я, ст аци онарны е состояни я э лект рона в
и деальном кри сталле характ ери зую т ся волновы м вект ором k и ли квази -
и мпульсом p = h k. П ри э т ом вкри ст алле еди ни чного объема каж дому
значени ю р соот ветст вует э лемент арная ячей ка зоны Бри ллю э на объемом
h3. П оэ т омувэ лемент еобъемазоны Бри ллю э наdVp находи т ся dN = 2dVp/h3
квант овы х состояни й , где множ и т ель 2 учи т ы вает две возмож ны е
ори ент аци и спи на.
       В     термоди нами ческом равновеси и         вероятност ь заполнени я
квант овы х состояни й э лект ронами зави си т только от и х э нерги и Е и
т емперат уры , поэ тому в качест ве dVp удобно вы брат ь э лемент объема,
заклю ченны й меж ду двумя бесконечно бли зки ми и зоэ нергети чески ми
поверхностями . П ри э том и зменени е э нерги и          э лектрона на dЕ
равноси льно и зменени ю его и мпульса на dp. Ч и сло состояни й ,
соот вет ст вую щ и х и нт ервалу э нерги й  dЕ     мож но предст ави т ь вви де
dN(E) = g(E) dE , где g(E) – ф ункци я, показы ваю щ ая, как и зменяется
плотност ь квантовы х сост ояни й взави си мост и от э нерги и .
       Т очное вы чи слени е ф ункци и g(E) не просто, т ак как поверхност и
постоянной э нерги и и мею т слож ную ф орму. О днако, во многи х случаях
оказы вается дост аточны м знат ь ф ункци ю g(E) т олько вбли зи краевзон,
от чего задачасущ ест венно упрощ ает ся.
       Рассмот ри м простей ш и й случай и зот ропного параболи ческого
законади сперси и . Т огдадля полной э нерги и э лект ронамож но напи сат ь

                                  E = Ec + p2/mn ,                            (1)

при э т ом квази и мпульс э лект рона p от счи ты вается от его значени я,
соот вет ст вую щ его Ec . Д алее dVp ест ь объем сф ери ческого слоя 4πp2dp.
И з(1) и меем

             p = (2mn)1/2 (E – Ec)1/2,   dp = (2mn)1/2 (E – Ec)-1/2 dE/2 .
П оэ т ому
                         g(E) = 4π (2mn/h2)3/2 (E – Ec)1/2.                   (2)

      Распределени е квант овы х сост ояни й ввалент ной зоне получает ся с
помощ ью аналоги чны х рассуж дени й и вслучае параболи ческого закона
ди сперси и вбли зи края валентной зоны Ev и меет ви д

                         gv(E) = 4π (2mp/h2)3/2 (Ev – E)1/2.                 (2а)

Страницы