Статистика электронов и дырок в полупроводниках. Бормонтов Е.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
2. Распределение Ферми – Дирака
Электроны , как частицы , обладающие полуцелым спином,
подчиняются статистике Ферми – Дирака. Вероятность того, что электрон
будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е , определяется
функцией Ферми – Дирака
f (E,T) = {1 + exp [(E – F) / kT ]}
-1
, (3)
где F – уровень энергии Ферми , или электрохимический потенциал.
Энергия Ферми – это статистическая характеристика коллектива
частиц, тесно связанная с термодинамическими параметрами системы .
Так , например, ее можно определить как приращение свободной энергии
системы при добавлении к ней одного электрона при условии постоянства
объема и температуры . Однако мы не станем обсуждать
термодинамический смысл понятия энергии Ферми , а будем рассматривать
ее как некоторую характерную энергию, зависящую от типа
полупроводника, его состава и состояния (температуры , давления и др.),
значение которой подлежит определению.
Физический смысл энергии Ферми наиболее ясен при абсолютном
нуле температуры : тогда это граничная энергия, отделяющая заполненные
квантовые состояния от пустых. Действительно , распределение Ферми –
Дирака (3) в этом случае имеет вид разрывной функции. Для E < F
функция f = 1, а это значит, что все квантовые состояния с такими
энергиями заполнены электронами . Для E > F функция f = 0 и
соответствующие квантовые состояния совершенно пустые. При любой
конечной температуре функция Ферми изображается непрерывной
кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, вблизи точки
E= F, быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше,
чем выше температура. Из выражения (3) также видно, что уровень
Ферми можно определить как энергию квантового состояния, вероятность
заполнения которого при данных условиях равна ½ .
Вероятность того, что данное квантовое состояние с энергией Е не
занято электроном, f
p
определяется функцией
f
p
( E,T) = (1 – f) = {1 + exp [(F – E) / kT ]}
-1
. (3а)
Вычисление различных статистических величин значительно
упрощается , если уровень Ферми F лежит в запрещенной зоне энергий и
удален от края зоны проводимости E
c
хотя бы на (2–3) kT. Тогда в
распределении (3) можно считать
exp [(F – E) / kT] >> 1 
                                         6

                     2. Р аспределение Ф ерми– Д ирак а

      Э лект роны , как части цы , обладаю щ и е полуцелы м спи ном,
подчи няю т ся ст ати ст и кеФ ерми –Д и рака. В ероятност ь т ого, что э лект рон
будет находи т ься в квант овом состояни и с э нерги ей Е , определяет ся
ф ункци ей Ф ерми –Д и рака

                     f (E,T) = {1 + exp [(E – F) / kT ]}-1 ,                  (3)

гдеF –уровень э нерги и Ф ерми , и ли э лект рохи ми чески й пот енци ал.
       Э нерги я Ф ерми – э т о ст ат и сти ческая характ ери сти ка коллект и ва
част и ц, т есно связанная с т ермоди нами чески ми параметрами си ст емы .
Т ак, напри мер, ее мож но определи т ь как при ращ ени е свободной э нерги и
си ст емы при добавлени и к ней одного э лект ронапри услови и пост оянст ва
объема и          т емперат уры . О днако мы          не ст анем обсуж дат ь
т ермоди нами чески й смы сл поняти я э нерги и Ф ерми , абудем рассмат ри ват ь
ее как некот орую характ ерную э нерги ю , зави сящ ую от ти па
полупроводни ка, его сост ава и состояни я (температ уры , давлени я и др.),
значени екоторой подлеж и т определени ю .
        Ф и зи чески й смы сл э нерги и Ф ерми наи более ясен при абсолю тном
нулет емперат уры : т огдаэ т о грани чная э нерги я, отделяю щ ая заполненны е
квант овы е сост ояни я от пуст ы х. Д ей стви т ельно, распределени е Ф ерми –
Д и рака (3) вэ т ом случае и меет ви д разры вной ф ункци и . Д ля E < F
ф ункци я f = 1, а э т о значи т, что все квант овы е состояни я с т аки ми
э нерги ями заполнены э лект ронами . Д ля E > F ф ункци я f = 0 и
соот вет ст вую щ и е квант овы е сост ояни я соверш енно пуст ы е. П ри лю бой
конечной т емпературе ф ункци я Ф ерми и зображ ается непреры вной
кри вой и вузкой област и э нерги й , порядка нескольки х kT, вбли зи точки
E= F, бы ст ро и зменяет ся от 1 до 0. Размы т и еф ункци и Ф ерми т ем больш е,
чем вы ш е т емперат ура. И з вы раж ени я (3) т акж е ви дно, что уровень
Ф ерми мож но определи т ь как э нерги ю квант ового состояни я, вероят ност ь
заполнени я которого при данны х услови ях равна½ .
       В ероятност ь т ого, что данное квантовое сост ояни е с э нерги ей Е не
занято э лект роном, fp определяет ся ф ункци ей

              fp (E,T) = (1 –f) = {1 + exp [(F – E) / kT ]}-1 .              (3а)

     В ы чи слени е разли чны х ст ат и ст и чески х вели чи н значи т ельно
упрощ ает ся, если уровень Ф ерми F леж и т взапрещ енной зоне э нерги й и
удален от края зоны проводи мости Ec хот я бы на (2–3) kT. Т огда в
распределени и (3) мож но счи т ат ь

                              exp [(F – E) / kT] >> 1

Страницы