Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 100 стр.

                           ( p −1, p2 −1) τ , t − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                  ∞ ∞   ϕτ τ1            ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
         I3 =     ∫ ∫       1 2

                              ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                              ⎡τ
                                                        1 2

                                                    ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                                              d τ1d τ2 =
                −∞ −∞
                            ( p −1, p2 −1) τ , t − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                  ∞ ∞     ϕτ τ1           ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
              =   ∫ ∫        1 2                        1 2

                                         ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦
                                         ⎡τ
                                                                               d τ1 ×
                  −∞ −∞
             ⎧ πi, если t2 − ih2 лежит в верхней полуплоскости;
            ×⎨
             ⎩−πi, если t2 − ih2 лежит в нижней полуплоскости;
                           ( p −1, p2 −1) t , t
        ∞ ∞               ϕτ τ1          ( 1 2)                            ( p −1, p2 −1) t , t ×
 I4 =   ∫ ∫                 1 2
                                                      d τ1d τ2 = ϕτ τ1                   ( 1 2)
              ⎡τ
        −∞ −∞ ⎣ 1
                  − ( t1 − ih ) ⎤ ⎡τ
                             1 ⎦⎣ 2  − ( t 2 − ih )
                                                 2 ⎦⎤              1 2


 ⎧−π2 , если обе точки ( t1 − ih1 ) и ( t2 − ih2 ) лежат или в верхних,
 ⎪
 ⎪      или в нижних полуплоскостях соответствующих плоскостей;
×⎨
 ⎪π , если одна из точек ( t1 − ih1 ) или ( t2 − ih2 ) лежит в верхней
   2
 ⎪
 ⎩    полуплоскости, а вторая − в нижней.
  Оценка погрешности кубатурной формулы (3.4.2) имеет вид
                                                    3   4
                                      RN1N 2 =     ∑∑ rij ,
                                                   i =1 j =1

где слагаемые rij имеют тот же вид, что и в разд. 3.2 с заменой ин-
тегрирования по конечным областям интегрированием по бесконеч-
ным областям. Оценка погрешности RN1 N 2 складывается из суммы
трех групп слагаемых. Каждая группа состоит из четырех слагаемых.
Повторяя рассуждения, приведенные в разд. 3.2, получаем
                   ⎛ 1 1                                     ⎞
        RN1N 2 = O ⎜ h1 2 h2 2 ln h1 ln h2 + ε      + 1 h1h2 ⎟ .
                   ⎝                           h1h2    N     ⎠
   Таким образом, оценка погрешности кубатурной формулы на то-
пологическом произведении двух бесконечных контуров является
бесконечно малой величиной высшего порядка.


                                               101