Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 99 стр.

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ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

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Рубрика: 

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12 12
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1, 1 1, 1
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12
111 2 2 2
,,
pp pp
t
dd
tih t ih
−− −−
∞∞
ττ ττ
−∞ −∞
ϕττ−ϕ τ
=ττ−
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
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,,
pp pp
ttt
dd
tih t ih
−− −−
∞∞
ττ ττ
−∞ −∞
ϕτ+ϕ
−ττ+
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
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,,
pp pp
ttt
dd
tih t ih
−− −−
∞∞
ττ ττ
−∞ −∞
ϕτ−ϕ
+ττ+
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
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1, 1 1, 1
12 12
12
111 2 2 2
,,
pp pp
ttt
dd
tih t ih
−− −−
∞∞
ττ ττ
−∞ −∞
ϕτ−ϕ
+ττ+
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
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12
12
1, 1
12
121234
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,
.
pp
tt
dd I I I I
tih t ih
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕ
+ττ=+++
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
Второй, третий и четвертый интегралы вычисляются по формуле
Коши:
(
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12 12
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1, 1 1, 1
12 12
212
111 2 2 2
,,
pp pp
ttt
Idd
tih t ih
−− −−
∞∞
ττ ττ
−∞ −∞
ϕτ−ϕ
=
ττ=
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
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12 12
1, 1 1, 1
12 12
2
222
,,
pp pp
ttt
d
tih
−− −−
∞∞
ττ ττ
−∞ −∞
ϕτ−ϕ
=
τ×
⎡τ − − ⎤
⎣⎦
∫∫
11
11
, если лежит в верхней полуплоскости;
, если лежит в нижней полуплоскости;
itih
itih
π−
⎧
×
⎨
−π −
⎩
                          ( p −1, p2 −1) τ , τ − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , τ
            ∞ ∞        ϕτ τ1            ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
        =   ∫ ∫             1 2

                               ⎣⎡τ1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                            1 2

                                                      ⎣ 2 − ( t2 − ih2 ) ⎤⎦
                                                                                     d τ1d τ2 −
            −∞ −∞

                            ( p −1, p2 −1) τ , t + ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                ∞ ∞     ϕτ τ1             ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
            −   ∫ ∫         1 2

                                  ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                  ⎡τ
                                                            1 2

                                                        ⎣ 2 − ( t2 − ih2 ) ⎤⎦
                                                                                   d τ1d τ2 +
                −∞ −∞

                            ( p −1, p2 −1) t , τ − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                ∞ ∞     ϕτ τ1             ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
            +   ∫ ∫          1 2

                                  ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                  ⎡τ
                                                            1 2

                                                        ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                                                   d τ1d τ2 +
                −∞ −∞

                            ( p −1, p2 −1) τ , t − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                ∞ ∞     ϕτ τ1             ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
            +   ∫ ∫          1 2

                                  ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                  ⎡τ
                                                            1 2

                                                        ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                                                   d τ1d τ2 +
                −∞ −∞

                               ( p −1, p2 −1) t , t
       ∞ ∞                  ϕτ τ1            ( 1 2)
   +   ∫ ∫                        1 2
             ⎡τ − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                  ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                                    d τ1d τ2 = I1 + I 2 + I 3 + I 4 .
       −∞ −∞ ⎣ 1

  Второй, третий и четвертый интегралы вычисляются по формуле
Коши:
                              ( p −1, p2 −1) t , τ − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                    ∞ ∞     ϕτ τ1           ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
        I2 =        ∫ ∫        1 2

                                    ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                    ⎡τ
                                                              1 2

                                                          ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                                                     d τ1d τ2 =
                    −∞ −∞

                               ( p −1, p2 −1) t , τ − ϕ( p1 −1, p2 −1) t , t
                    ∞ ∞     ϕτ τ1            ( 1 2) τ τ               ( 1 2)
                =    ∫ ∫          1 2                          1 2

                                               ⎣ 2 − ( t2 − ih2 ) ⎤⎦
                                               ⎡τ
                                                                                      d τ2 ×
                    −∞ −∞

             ⎧ πi, если t1 − ih1 лежит в верхней полуплоскости;
            ×⎨
             ⎩−πi, если t1 − ih1 лежит в нижней полуплоскости;




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