Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 98 стр.

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ПГУ | Пенза

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99
()
() ( )
()( )
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()()
12
12
12
12 1 2
111 2 2 2
1, 1
12 1 2
12
111 2 2
,
,
1
;
1! 1!
pp
pp
dd
tih t ih
dd
pp
tih t ih
∞∞
−∞ −∞
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
⎡τ − + ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
ϕττττ
=
−−
⎡
τ− + ⎤⎡τ − − ⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
()
() ( )
12
12 1 2
111 2 2 2
,
pp
dd
tih t ih
∞∞
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
⎡τ − + ⎤ ⎡τ − + ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
()( )
(
)
()
()()
12
12
1, 1
12 1 2
12
111 2 2
,
1
.
1! 1!
pp
dd
pp
tih t ih
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕττττ
=
−−
⎡
τ− + ⎤⎡τ − + ⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
(3.4.4)
Из формул (3.4.3) и (3.4.4) следует
()
()( )
12
12 1 2
11 2 2
,
pp
dd
tt
∞∞
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
τ− τ −
∫∫
()
() ( )
12
12
2
0
11 2 2
,
1
lim
4
pp
ti t i
∞∞
η→
−∞ −∞
⎡
ϕτ τ
⎢
=
+
⎢
π
⎡τ − −η⎤ ⎡τ − −η⎤
⎣⎦⎣ ⎦
⎣
∫∫
(
)
() ( )
(
)
() ()
12 12
12 12
11 2 2 11 2 2
,,
pp pp
ti t i ti t i
ϕτ τ ϕτ τ
+++
⎡τ − − η ⎤ ⎡τ − + η ⎤ ⎡τ − + η ⎤ ⎡τ − − η ⎤
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦
()
() ( )
12
12
12
11 2 2
,
.
pp
dd
ti t i
⎤
ϕτ τ
⎥
+ττ
⎥
⎡τ − + η ⎤ ⎡τ − + η ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
⎦
Рассмотрим отдельно интеграл:
(
()
()( )
12
12
1, 1
12 1 2
111 2 2 2
,
pp
dd
tih t ih
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕττττ
=
⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
                    ∞ ∞
                                               ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                    ∫ ∫                                  p1                             p2
                                                                                              =
                         ⎣ 1 − ( t1 + ih1 ) ⎤⎦
                   −∞ −∞ ⎡τ                                   ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                              ⎡τ
                                                          ( p −1, p2 −1) τ , τ d τ d τ
                      1
                                          ∞ ∞           ϕτ τ1           ( 1 2) 1 2
           =
             ( p1 − 1)!( p2 − 1)!         ∫ ∫                 1 2
                                               ⎡τ − ( t1 + ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                                    ⎣ 2 − ( t2 − ih ) ⎤⎦
                                                                                                      ;
                                         −∞ −∞ ⎣ 1
                    ∞ ∞
                                               ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                    ∫ ∫                                  p1                              p2
                                                                                              =
                         ⎣ 1 − ( t1 + ih1 ) ⎤⎦
                   −∞ −∞ ⎡τ                                   ⎣ 2 − ( t2 + ih2 ) ⎤⎦
                                                              ⎡τ

                                                          ( p −1, p2 −1) τ , τ d τ d τ
                      1
                                          ∞ ∞           ϕτ τ1           ( 1 2) 1 2
           =
             ( p1 − 1)!( p2 − 1)!         ∫ ∫                 1 2
                                               ⎡τ − ( t1 + ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                                    ⎣ 2 − ( t2 + ih ) ⎤⎦
                                                                                                      . (3.4.4)
                                         −∞ −∞ ⎣ 1

    Из формул (3.4.3) и (3.4.4) следует
                                  ∞ ∞
                                               ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                                  ∫ ∫ (τ                 p1
                                                              ( τ2 − t2 ) p2
                                                                               =
                                 −∞ −∞        1 − t1 )

                            ⎡   ∞ ∞
                                         ϕ ( τ1 , τ2 )
                        1   ⎢
            = lim
              η→0 4π2           ∫ ∫
                            ⎢ ⎡τ − t − iη ⎤ p1 ⎡τ − t − iη ⎤ p2
                                                                +
                      −∞ −∞ ⎣ ⎣ 1 ( 1    )⎦ ⎣ 2 ( 2 )⎦
                   ϕ ( τ1 , τ2 )                                               ϕ ( τ1 , τ2 )
+                                                        +                                                         +
                        p1                         p2                              p1                         p2
    ⎣ 1− ( t1− iη) ⎤⎦
    ⎡τ                       ⎣ 2 − ( t2 + iη )⎤⎦
                             ⎡τ                               ⎣ 1− ( t1+ iη )⎤⎦
                                                              ⎡τ                        ⎣ 2 − ( t2 − iη )⎤⎦
                                                                                        ⎡τ

                                          ϕ ( τ1 , τ2 )          ⎤
                 +                                               ⎥ dτ dτ .
                                       p1                     p2 ⎥ 1 2
                   ⎣ 1 − ( t1 + iη ) ⎤⎦ ⎡τ
                   ⎡τ                     ⎣ 2 − ( t2 + iη ) ⎤⎦ ⎦
    Рассмотрим отдельно интеграл:
                                       ( p −1, p2 −1) τ , τ d τ d τ
                         ∞ ∞          ϕτ τ1          ( 1 2) 1 2
                         ∫ ∫             1 2
                              ⎡τ − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                   ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                                                         =
                        −∞ −∞ ⎣ 1


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