Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

97
1
1
2
2
11
1
,1 1 1 11
1
22
2
,2 2 2 22
2
; , , 1,0,1, , ; 0,1, , ;
; , , 1,0,1, , ; 0,1, , .
kl
k
k
kl
k
k
l
kkA AlN
N
l
kkA AlN
N
τ=+ =− − =
τ=+ =− − =
KK K
KK K
Значения
i
A зависят от весовой функции
(
)
12
,
ρ
ττ :
[]
()
[]
()
12
22
12
112
12
log при ,;
ln при ,.
ai
i
i
rN a
A
Ne
−
τ−τ
−τ −τ
⎧
ρτ τ =
⎪
=
⎨
⎪
ρτ τ =
⎩
Значения
i
k
N
также зависят от весовой функции: если весовая
функция
()
12
12
, a
−τ −τ
ρτ τ = , то
i
i
k
kr
N
N
a
= ; если
()
22
12
12
, e
−τ −τ
ρτ τ = ,
то
2
,1,2.
exp
i
k
i
N
Ni
k
r
==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Теорема 3.4.1. Пусть
() ()
12
12
,1
rr
Wϕτ τ ∈
и
(
)
(
)
12 12
,,.
ϕ
ττ −ϕττ ≤ε
%
Тогда для интеграла Адамара (3.4.1) кубатурная формула
()
()( )
12
12 1 2
11 2 2
,
pp
dd
tt
∞∞
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
τ− τ −
∫∫
()
()( )
11
12
12
12
12
12
12
11
00
11 2 2
11
,
4
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
tt
tih t ih
++
−−
==
⎡
⎢
′′
=ϕ +
⎢
τ− + τ − +
⎣
∑∑
∫∫
%
()( )()( )
12 12
11 2 2 11 2 2
11
pp pp
tihtih tihtih
+++
τ− − τ− + τ− + τ − −
()( )
12
12
12
11 2 2
1
N
pp
dd R
tih t ih
⎤
⎥
+ττ+
⎥
τ− − τ− −
⎦
(3.4.2) 
                       l
         τ1k ,l = k1 + 1 1 ; k1 = − A1 ,K , −1,0,1,K , A1; l1 = 0,1,K , N 1k ;
                         Nk                                                 1
                                    1
                         l2
        τk2,l   = k2 +                  ; k2 = − A2 ,K , −1,0,1,K , A2 ; l2 = 0,1,K , N k2 .
                               N k2                                                                2
                                   2

   Значения Ai зависят от весовой функции ρ ( τ1 , τ2 ) :

                         ⎧[ r log N ] при ρ ( τ , τ ) = a − τ1 − τ2 ;
                         ⎪ 1 a i                     1 2
                    Ai = ⎨
                         ⎪⎩[ ln Ni ] при ρ ( τ1 , τ2 ) = e −τ1 −τ2 .
                                                             2   2




   Значения N ki также зависят от весовой функции: если весовая
                         −τ −τ
функция ρ ( τ1 , τ2 ) = a 1 2 , то N ki = N kr ; если ρ ( τ1 , τ2 ) = e −τ1 −τ2 ,
                                                                          2   2


                                           a i
то N ki = N                , i = 1, 2.
             exp ⎛⎜ k
                      2 ⎞
                         ⎟
                  ⎝ ri ⎠
   Теорема 3.4.1. Пусть ϕ( τ1, τ2 ) ∈W rr
                                       1 2
                                           (1) и ϕ ( τ1, τ2 ) − ϕ% ( τ1, τ2 ) ≤ ε.
Тогда для интеграла Адамара (3.4.1) кубатурная формула
                                   ∞ ∞
                                                ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                                    ∫ ∫             p            p
                                                                                 =
                                   −∞ −∞ ( τ1 − t1 ) ( τ2 − t2 )
                                                             1               2


                                            tk1 +1 tk2 +1
            N −1 N −1                                       ⎡
                ∑ ∑ (                      )∫ ∫
       1 1     2
                                                                                 1
     =              ϕ% tk′1 , tk′ 2                         ⎢                                        +
       4 k =0 k = 0                                         ⎢ ( τ1 − t1 + ih ) 1 ( τ2 − t2 + ih ) p2
                                                                              p
                1   2                        tk1 tk2        ⎣
                               1                                                      1
    +                                                       +                                           +
                          p1                         p2
        ( τ1 − t1 − ih ) ( τ2 − t2 + ih )                        ( τ1 − t1 + ih ) ( τ2 − t2 − ih ) p2
                                                                                 p1


                                                 1    ⎤
                    +                                 ⎥ d τ d τ + RN N                                 (3.4.2)
                                     p1            p2 ⎥ 1 2
                         (1 1 ) ( 2 2 ) ⎦
                          τ − t − ih    τ − t − ih
                                                                    1 2




                                                          97

Страницы