Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

96
3.4. Кубатурные формулы для вычисления
интеграла Адамара на топологическом
произведении двух бесконечных контуров
Рассмотрим интеграл Адамара вида
()
()( )
12 1 2
22
11 2 2
,
.
dd
A
tt
∞
∞
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
ϕ=
τ− τ −
∫∫
(3.4.1)
Функция
()
12
,ϕτ τ имеет производные до
1
r -го порядка по пере-
менной
1
τ и
2
r -го порядка по переменной
2
τ
:
() ()
12
12
,1.
rr
Wϕτ τ ∈
Предположим, что эта функция представима в виде
(
)
(
)
(
)
12 12 12
,,,
i
ϕτ τ =ρ τ τ ψτ τ , где
i
ρ
− весовые функции. В качестве
весовых используются следующие функции:
() ()
22
12
12
112 212
, при 1; , .aa e
−τ −τ
−
τ−τ
ρττ = > ρ ττ =
Через
()
12
1,
rr
WK обозначим класс функций
(
)
12
,
ϕ
ττ , определен-
ных на области
()
2
,−∞ ∞ , имеющих непрерывные производные до
()
1
1r − -го порядка по переменной
1
τ
и
(
)
2
1r
-го порядка по пере-
менной
2
τ
, кусочно-непрерывные производные порядка
1
r по пере-
менной
1
τ
и порядка
2
r по переменной
2
τ
и удовлетворяющих усло-
виям:
()
()
12
,
12
max , 1;
rr
ϕττ≤
()()()
()
()
12
12
12
1, 1
12 12 12 12
max , , , , , , , , .
rr
K
−−
ττ
ττ
⎛⎞
′′
ϕττ ϕ ττ ϕ ττ ϕ ττ ≤
⎜⎟
⎝⎠
K
Введем обозначения:
12
,
kk
N
N − целые числа; 
      3.4. Кубатурные формулы для вычисления
        интеграла Адамара на топологическом
      произведении двух бесконечных контуров
   Рассмотрим интеграл Адамара вида
                                     ∞ ∞
                                               ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                          Aϕ =       ∫ ∫ (τ             2
                                                            ( τ 2 − t2 ) 2
                                                                             .           (3.4.1)
                                    −∞ −∞ 1 − t1 )

   Функция ϕ ( τ1 , τ2 ) имеет производные до r1 -го порядка по пере-
менной τ1 и r2 -го порядка по переменной τ2 : ϕ ( τ1 , τ2 ) ∈ W r1r2 (1) .
    Предположим, что эта функция представима в виде
ϕ ( τ1 , τ2 ) = ρi ( τ1 , τ2 ) ψ ( τ1 , τ2 ) , где ρi − весовые функции. В качестве
весовых используются следующие функции:
                                 − τ1 − τ2
            ρ1 ( τ1 , τ2 ) = a               при a > 1; ρ2 ( τ1 , τ2 ) = e −τ1 −τ2 .
                                                                                 2   2




   Через W r1r2 (1, K ) обозначим класс функций ϕ ( τ1 , τ2 ) , определен-
ных на области         ( −∞, ∞ )2 ,     имеющих непрерывные производные до
( r1 − 1) -го порядка по переменной                   τ1 и ( r2 − 1) -го порядка по пере-
менной τ2 , кусочно-непрерывные производные порядка r1 по пере-
менной τ1 и порядка r2 по переменной τ2 и удовлетворяющих усло-
виям:

                                 max ϕ( 1 2 ) ( τ1 , τ2 ) ≤ 1;
                                       r ,r


      ⎛                                                           ( r −1,r −1)       ⎞
  max ⎜ ϕ ( τ1 , τ2 ) , ϕ′τ1 ( τ1 , τ2 ) , ϕ′τ2 ( τ1 , τ2 ) ,K , ϕτ 1τ 2 ( τ1 , τ2 ) ⎟ ≤ K .
      ⎝                                                             1 2              ⎠
   Введем обозначения: N 1k , N k2 − целые числа;




                                                 96

Страницы