Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

94
Зафиксируем 0.Δ> Будем считать, что
12
;1 , 1 .htt
<
<Δ − +Δ≤ ≤ −Δ
При этих предположениях
()
()
()( )
()( )() ( )
()
12
11
22
2
1,1
11 2 2 12
2
111 1 2
22
22
11
11 2 2 11 2 2
2
[]
,
ln .
tthdd
Rh
tt th th
Oh h
ττ
−−
τ− +τ − + τ τ
=ϕττ ≤
⎡
⎤⎡ ⎤
τ− τ − τ− + τ − +
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦
≤
∫∫
Выражение
112
R
состоит из четырех слагаемых. Оценим одно из
них (остальные оцениваются аналогично):
()
()()
()()
1
1
1
211 2 11
1
11 1
,1
141tt tihtih
τ
−
⎧
⎡
⎪
′
ϕτ− − +
⎨⎢
−− τ− −− + τ− +
⎢
⎪
⎣
⎩
∫
()()
211
1
1 tih tih
++
−− − τ− +
()()()()
1
211 211
11
11
d
tih tih tih tih
⎫
⎤
⎪
++ τ≤
⎥⎬
−− + τ− − −− − τ− −
⎥
⎪
⎦
⎭
()
()
1
11
2
1
2
2
2
2
11
1
22
1
11
t
hA d
th
tth
−
τ−
≤
τ+
⎡⎤
τ− +
−− −− +
⎢⎥
⎣⎦
∫
()()
()
1
2
1
2
2
2
1
11 11
1
ln .
1
d
Oh h
t
tth
−
τ
+=
−−
⎡⎤
τ− τ− +
⎢⎥
⎣⎦
∫
Выражение
113
R
состоит из двух слагаемых. Оценим одно из них
(второе слагаемое оценивается аналогично):
()
()( )
() ( )
()
2
1212
22
22
12
12
1
1
1,1 .
11
11
tt tt
Oh
tt
th t h
−− +
ϕ− ≤
−−
⎡⎤⎡ ⎤
−+ − +
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
  Зафиксируем Δ > 0. Будем считать, что h << Δ ; −1 + Δ ≤ t1, t2 ≤ 1 − Δ.
При этих предположениях
               1 1                                             2                2
                      (1,1)                      [( τ1 − t1 ) + ( τ2 − t2 ) + h2 ]d τ1d τ2
               ∫   ∫ ϕτ τ ( τ1, τ2 )
           2
R111 = h                                                                                                       ≤
               −1 −1
                        1 2
                                        ( τ1 −t1 )( τ2 −t2 ) ⎡⎢⎣( τ1 −t1 )2 +h2 ⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣( τ2 − t2 )2 + h2 ⎤⎥⎦

                                                  (
                                              ≤ O h2 ln h .    )
  Выражение R112 состоит из четырех слагаемых. Оценим одно из
них (остальные оцениваются аналогично):
     1                     ⎧⎪             1                    1⎡                    1
     ∫ ϕ′τ ( τ1, −1) ⎨⎪⎩ ( −1 − t2 )( τ1 − t1 ) − 4 ⎢⎣⎢ ( −1 − t2 + ih )( τ1 − t1 + ih ) +
               1
     −1
                                                      1
                                  +                                     +
                                      ( −1 − t 2 − ih )( τ1 − t1 + ih )
                              1                                         1               ⎤ ⎫⎪
     +                                            +                                     ⎥⎬ d τ ≤
         ( −1 − t2 + ih )( τ1 − t1 − ih )             ( −1 − t2 − ih )( τ1 − t1 − ih ) ⎥⎦ ⎪⎭ 1
                                                                    1
                                             1                              τ1 − t1
                                                        ∫
                   2
               ≤h A                                                          d τ1 +
                                                                      2
                         −1 − t2 ⎡⎢( −1 − t2 ) + h 2 ⎤⎥ −1 ( τ1 − t1 ) + h
                                                      2                    2
                                  ⎣                   ⎦

                                  1
                   +
                       1
                     −1 − t2      ∫ (τ         ⎡
                                                      d τ1
                                                           2   2⎤
                                                                                 (
                                                                            = O h2 ln h .  )
                                  −1 1 − t1 ) ⎢⎣( τ1 − t1 ) + h ⎥⎦

   Выражение R113 состоит из двух слагаемых. Оценим одно из них
(второе слагаемое оценивается аналогично):


     ϕ (1,1)
                              1
                   (1 − t1 )(1 − t2 )
                                         −
                                                      1 − t1 − t2 + t1t2
                                             ⎡(1 − t )2 + h 2 ⎤ ⎡(1 − t )2 + h 2 ⎤
                                                                                    ≤ O h2 .     ( )
                                             ⎢⎣     1         ⎥⎦ ⎢⎣    2         ⎥⎦


                                                          94

Страницы