Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

93
Оценим по одному слагаемому из каждой группы. Вначале оце-
ним
1i
R
(выражения
1
,2,3,4
i
Ri
=
оцениваются аналогично). Не-
трудно видеть, что
11 111 112 113
R
RRR≤++,
где
()
()
()( )
()
()
()( )
12 12
1,1 1,1
11 11
12 1 2 12 1 2
111
11 2 2 11 2 2
11 11
,,
1
4
dd dd
R
tt tihtih
ττ ττ
−− −−
⎡
ϕττττ ϕττττ
⎢
=− +
⎢
τ− τ − τ− + τ − +
⎢
⎣
∫∫ ∫∫
(
)
()
()( )
(
)
()
()( )
12 12
1,1 1,1
11 11
12 1 2 12 1 2
11 22 11 22
11 11
,,dd dd
tihtih tihtih
ττ ττ
−− −−
ϕττττ ϕττττ
+++
τ−+ τ−− τ−− τ−+
∫∫ ∫∫
()
()
()( )
12
1,1
11
12 1 2
11 2 2
11
,
;
dd
tih t ih
ττ
−−
⎤
ϕττττ
⎥
+
⎥
τ− − τ− −
⎥
⎦
∫∫
() ()
11
11
11
112 1 1
211 2 11
11
,1 ,1
111
141
Rd d
tt tihtih
ττ
−−
⎡
′′
ϕτ− ϕτ−
⎢
=τ− τ+
−− τ− −− + τ− +
⎢
⎣
∫∫
(
)
(
)
11
11
11
11
211 211
11
,1 ,1
11
11
dd
tih tih tih tih
ττ
−−
′′
ϕτ− ϕτ−
+τ+τ+
−− − τ− + −− + τ− −
∫∫
()
1
1
1
1
211
1
,1
1
;
1
d
tih tih
τ
−
⎤
′
ϕτ−
+τ
−− + τ− +
⎦
∫
()
()( ) ()( )
113
12 1 2
11 1
1,1
11 41 1
R
tt tihtih
⎡
=ϕ − +
⎢
−− −+−+
⎢
⎣
()()
12
1
11tih t ih
++
−+ −−
()( )()( )
12 12
11
.
11 11tih t ih tih t ih
⎤
+
⎥
−− −+ −− −−
⎥
⎦
   Оценим по одному слагаемому из каждой группы. Вначале оце-
ним Ri1 (выражения Ri1 , i = 2,3, 4 оцениваются аналогично). Не-
трудно видеть, что R11 ≤ R111 + R112 + R113 ,
где
                       (1,1) τ , τ d τ d τ                    ⎡ 1 1 ϕ(1,1) ( τ , τ ) d τ d τ
                1 1   ϕτ τ  ( 1 2) 1 2                      1⎢            τ1τ2 1 2         1 2
  R111 =        ∫ ∫ ( τ1 − t1 )( τ2 − t2 )
                        1 2
                                                           − ⎢
                                                            4      ∫∫ ( τ − t + ih )( τ2 − t2 + ih )
                                                                                                     +
              −1 −1                                           ⎢⎣ −1 −1 1 1

                      (1,1) τ , τ d τ d τ                                  (1,1) τ , τ d τ d τ
          1 1      ϕτ τ    ( 1 2) 1 2                           1 1      ϕτ τ   ( 1 2) 1 2
      +   ∫ ∫ ( τ1 − t1 + ih )( τ2 − t2 − ih ) + ∫ ∫ ( τ1 − t1 − ih )( τ2 − t2 + ih ) +
                       1 2                                                  1 2

          −1 −1                                                 −1 −1
                                                   (1,1) τ , τ d τ d τ   ⎤
                                    1 1        ϕτ τ     ( 1 2) 1 2       ⎥;
                                  + ∫∫              1 2
                                         ( τ − t − ih )( τ2 − t2 − ih ) ⎥⎥
                                    −1 −1 1 1                            ⎦

              1
                             1
                                  ϕ′τ1 ( τ1 , −1)          1⎡       1
                                                                           1 ′
                                                                              ϕτ1 ( τ1 , −1)
     R112 =
            −1 − t2          ∫       τ1 − t1
                                                    d τ1 −   ⎢
                                                                                      ∫
                                                           4 ⎢ −1 − t2 + ih τ1 − t1 + ih
                                                                                             d τ1 +
                          −1                                 ⎣             −1

              1
                              1
                                   ϕ′τ1 ( τ1 , −1)       1
                                                                1 ′
                                                                   ϕτ1 ( τ1 , −1)
       +
         −1 − t2 − ih         ∫ τ1 − t1 + ih
                                             d τ1 +
                                                    −1 − t2 + ih τ1 − t1 − ih     ∫
                                                                                  d τ1 +
                             −1                                 −1

                                         1
                                                          1
                                                              ϕ′τ1 ( τ1 , −1)
                                                                            ⎤
                                  +
                                    −1 − t2 + ih          ∫ τ − t + ih
                                                                       d τ1 ⎥ ;
                                                                            ⎥
                                                          −1 1 1            ⎦

                                               1        1⎡                1
            R113 = ϕ (1,1)                             − ⎢                                +
                                     (1 − t1 )(1 − t2 ) 4 ⎢⎣ (1 − t1 + ih )(1 − t2 + ih )

                 1                           1                         1               ⎤
 +                             +                          +                            ⎥.
     (1 − t1 + ih)(1 − t2 − ih) (1 − t1 − ih)(1 − t2 + ih) (1 − t1 − ih)(1 − t2 − ih) ⎥⎦


                                                              93

Страницы