Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

92
Оценка погрешности кубатурной формулы (3.3.2) имеет вид
()
()( )
()
()( )
12
11 11
12 1 2 12 1 2
22 2 2
11 22 11 22
11 11
,,
1
4
NN
dd dd
R
tt tihtih
−− −−
⎡
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
⎢
≤− +
⎢
τ− τ − τ− + τ − +
⎣
∫∫ ∫∫
()
()( )
()
()( )
11 11
12 1 2 12 1 2
22 22
11 2 2 11 2 2
11 11
,,dd dd
tihtih tihtih
−− −−
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
+++
τ− + τ − − τ− − τ − +
∫∫ ∫∫
()
()( )
11
12 1 2
22
11 2 2
11
, dd
tih t ih
−−
⎤
ϕτ τ τ τ
⎥
++
⎥
τ− − τ − −
⎦
∫∫
()
(
)
()( )
11
12
12
12
12
12
11
12
22
00
11 2 2
,,
1
4
kk
kk
tt
NN
kk
kk
tt
tt
tih t ih
++
−−
==
⎡
′′
ϕτ τ −ϕ
⎢
+
+
⎢
τ− + τ − +
⎣
∑∑
∫∫
()
()
()( )
(
)
(
)
()( )
12 12
12 12
22 22
11 2 2 11 2 2
,, ,,
kk kk
tt tt
t ih t ih t ih t ih
′′ ′′
ϕτ τ −ϕ ϕτ τ −ϕ
+++
τ− + τ − − τ− − τ − +
()
(
)
()( )
12
12
12
22
11 2 2
,,
kk
tt
dd
tih t ih
⎤
′′
ϕτ τ −ϕ
⎥
+ττ+
⎥
τ− − τ − −
⎦
()()
()
()( )
11
12
12
12 12
12
12
11
22
00
11 2 2
11
,,
4
kk
kk
tt
NN
kk kk
kk
tt
tt tt
tih t ih
++
−−
==
⎧
⎡
⎪
⎢
′′ ′′
+ϕ−ϕ +
⎨
⎢
τ− + τ − +
⎪
⎣
⎩
∑∑
∫∫
%
()( )()( )
22 22
11 2 2 11 2 2
11
tih t ih tih t ih
+++
τ− + τ − − τ− − τ − +
()( )
34
12
22
11
11 2 2
1
.
ij
ij
dd R
tih t ih
==
⎫
⎤
⎪
⎥
+ττ+
⎬
⎥
τ− − τ − −
⎪
⎦
⎭
∑
∑
     Оценка погрешности кубатурной формулы (3.3.2) имеет вид

                                         1⎡
                1 1                                               1 1
                            ϕ ( τ1, τ2 ) d τ1d τ2         ϕ ( τ1, τ2 ) d τ1d τ2
RN1N 2 ≤        ∫∫        2
                                        − ⎢
                                       2 4⎢                       ∫∫
                                                                   2                2
                                                                                      +
         −1 −1 ( τ1 − t1 ) ( τ2 − t2 )    ⎣ −1 −1 ( τ1 − t1 + ih ) ( τ2 − t2 + ih )
     1 1                                                         1 1
                     ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2                                     ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
 +   ∫ ∫ (τ                       2           ∫ ∫ ( τ − t − ih )2 ( τ − t + ih )2 +
                                                        2
                                                             +
     −1 −1     1 − t1 + ih ) ( τ2 − t2 − ih ) −1 − 1 1 1             2   2

                                  1 1
                                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2    ⎤
                              +   ∫∫   ( τ − t − ih ) 2
                                                        ( τ   − t   − ih )
                                                                            ⎥+
                                                                           2⎥
                                  −1 −1 1 1                 2     2         ⎦

                  1 1
                       N −1 N −1 tk1 +1 tk2 +1 ⎡
                           2                                                      (
                                                           ϕ ( τ1 , τ2 ) − ϕ tk′1 , tk′ 2     )
                +      ∑ ∑ ∫ ∫
                  4 k = 0 k =0
                                                     ⎢
                                                     ⎢ ( τ − t + ih )2 ( τ − t + ih )2
                                                                                          +
                        1         2      tk1 tk2     ⎣ 1 1                  2     2



        +
                                         (
                 ϕ ( τ1 , τ2 ) − ϕ tk′1 , tk′ 2     )        +
                                                                                          (
                                                                       ϕ ( τ1 , τ2 ) − ϕ tk′1 , tk′ 2   )   +
                                  2                     2
             ( τ1 − t1 + ih ) ( τ2 − t2 − ih )                   ( τ1 − t1 − ih ) ( τ2 − t2 + ih )2
                                                                                      2



                            +
                                                         (
                                      ϕ ( τ1 , τ2 ) − ϕ tk′1 , tk′ 2⎤   )
                                                                     ⎥ d τ1d τ2 +
                                ( τ1 − t1 − ih )2 ( τ2 − t2 − ih )2 ⎥⎦

    N −1 N −1 ⎧                                  tk1 +1 tk2 +1
                                                               ⎡
      ∑∑ ( (                            ) (                 )) ∫ ∫
  1 1 2 ⎪                                                                        1
+               ⎨  ϕ  t ′ , t
                        k1 k2 ′ − ϕ
                                  % t ′ , t
                                      k1 k2 ′                  ⎢                                  +
  4 k =0 k =0 ⎪                                                ⎢ ( τ1− t1+ ih ) ( τ2 − t2 + ih )2
                                                                               2
     1     2    ⎩                                 tk1 tk2 ⎣

                            1                                          1
       +                                        +                                          +
         ( τ1 − t1 + ih ) ( τ2 − t2 − ih ) ( τ1 − t1 − ih ) ( τ2 − t2 + ih )2
                          2                   2                      2


                                                          ⎤           ⎫ 3 4
                                                          ⎥ d τ1d τ2 ⎬⎪ +
                                             1
                 +                                                                Rij .   ∑∑
                     ( τ1 − t1 − ih )2 ( τ2 − t2 − ih )2 ⎥⎦          ⎪⎭ i =1 j =1



                                                            92

Страницы