Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 89 стр.

UptoLike

90
построим кубатурную формулу следующего вида:
()
() ( )
() ( ) () ( )
11
12
12
12
12
12
12
12 12
11
00
111 2 2 2
111 2 2 2 111 2 2 2
11
,
4
11
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
pp pp
Att
tih t ih
tihtih tihtih
++
−−
==
′′
ϕ= ϕ +
⎡τ ⎡τ
⎣⎦
+++
⎡τ ⎡τ + ⎡τ + ⎡τ
⎣⎦ ⎣⎦
∑∑
∫∫
() ( )
12
12
12
111 2 2 2
1
,
N
N
pp
dd R
tih t ih
τ+
⎡τ + ⎡τ +
⎣⎦
(3.3.2)
где точки
k
t получены путем равномерного разбиения отрезка
на N частей:
()
1
1
1
1
2
10,1,,; ;;
2
p
kk
kk
tt
k
tkNthN
N
+
+
=− + = = =
K
2
1
2
.
p
hN
=
Теорема 3.3.1. Пусть
() ()
12
12
,1
rr
Wϕτ τ
и
(
)
(
)
12 12
,,.
ϕ
ττ ϕττ ε
%
Для интеграла Адамара (3.3.1) кубатурная формула (3.3.2)
при
(
)
12 1 2
min , 1,rr h h h>== и 2p
=
имеет погрешность
12
2
2
ln .
NN
ROhh
h
⎛⎞
ε
=+
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство
. Представим интеграл (3.3.1) в виде суммы
()
()( )
()
()( )
()
()( )
()
()( )
12
12 12
21
12 12
12
11
12 1 2 12 1 2
0
11 2 2 11 2 2
11 1 1
11
12 1 2 12 1 2
11 2 2 11 2 2
11
,,
lim
,,
tt
pp pp
tt
pp pp
tt
dd dd
A
tt tt
dd dd
tt tt
−η −η
η→
−−
−η −η
+η −
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
ϕ= = +
τ− τ τ− τ
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
++ +
τ− τ τ− τ
∫∫
∫∫ ∫∫
()
()( )
()
1212
12
11
12 1 2
2
11 2 2
,
.
pppp
tt
dd
tt
+−
ϕτ τ τ τ ψη
+
η
τ− τ
∫∫
построим кубатурную формулу следующего вида:
              N −1 N −1                           tk1 +1 tk2 +1 ⎡

               ∑∑ (                               )∫ ∫
     1 1 2                                                         ⎢                 1
Aϕ =             ϕ tk′1 , tk′ 2                                                                       +
                                                                   ⎢ ⎡τ − t − ih ⎤ 1 ⎡τ − t − ih ⎤ p2
                                                                                  p
     4 k =0 k =0
               1            2                      tk1 tk2               (      )
                                                                   ⎣⎣ 1 1 1 ⎦ ⎣ 2 2 2 ⎦  (       )
                                      1                                                           1
+                                                                   +                                                        +
                                 p1                           p2                             p1                         p2
    ⎣ 1− ( t1− ih1 ) ⎤⎦
    ⎡τ                                ⎣ 2 − ( t2 + ih2 ) ⎤⎦
                                      ⎡τ                                ⎣ 1− ( t1+ ih1 )⎤⎦
                                                                        ⎡τ                        ⎣ 2− ( t2− ih2 )⎤⎦
                                                                                                  ⎡τ

                                                                  ⎤
                                                    1             ⎥ dτ dτ + R
               +                                                             N1N 2 , (3.3.2)
                                        p1                     p2 ⎥ 1 2
                    ⎡τ
                    ⎣ 1 − ( t1 + ih ) ⎤
                                   1 ⎦ ⎣ 2 ⎡τ − ( t 2 + ih ) ⎤
                                                          2 ⎦ ⎦

где точки tk получены путем равномерного разбиения отрезка
                                                                                                        −1
                                                                                        t +t
на N частей: tk = −1 + 2k
                          N                             ( k = 0,1,K, N ) ;         tk′ = k k +1 ; h1 = N p1 ;
                                                                                           2
              −1
                   p2
h2 = N                  .

    Теорема 3.3.1. Пусть ϕ( τ1, τ2 ) ∈W rr
                                        1 2
                                            (1) и ϕ ( τ1, τ2 ) − ϕ% ( τ1, τ2 ) ≤ ε.
Для          интеграла Адамара (3.3.1) кубатурная формула (3.3.2)
при          min ( r1 , r2 ) > 1, h1 = h2 = h и p = 2 имеет погрешность
            ⎛                ⎞
RN1 N 2 = O ⎜ h 2 ln h + ε 2 ⎟ .
            ⎝             h ⎠
    Доказательство. Представим интеграл (3.3.1) в виде суммы
               1 1                                 ⎡t1 −η t2 −η ϕ ( τ , τ ) d τ d τ
                                ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
               ∫∫                                                           ∫ ∫
                                                                       1 2         1 2
     Aϕ =                                    = lim ⎢                                          +
                          p1               p2 η→0 ⎢                       p1               p2
         −1 −1 ( τ1− t1 )    ( τ 2 − t 2 )         ⎣ −1 −1     ( τ1− t1 )    ( τ 2 − t 2 )
             1 t2 −η                                                   t1 −η 1
                                 ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2                               ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
     +     ∫ ∫              p            p
                                                                   +    ∫ ∫                p             p
                                                                                                                    +
         t +η −1 ( τ1 − t1 ) ( τ2 − t2 )                                −1 t +η ( τ1 − t1 ) ( τ 2 − t2 )
                                              1                2                                  1             2
         1                                                                  2

                                  1       1
                                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2                ψ ( η) ⎤
                                  ∫ ∫                     p1
                                                               ( τ2 − t2 ) p2
                                                                                  +                 ⎥.
                                                                                      η p1 + p2 −2 ⎦⎥
                                t1 +η t2 +η ( τ1 − t1 )



                                                                   90