ВУЗ:
Составители:
90
построим кубатурную формулу следующего вида:
()
() ( )
() ( ) () ( )
11
12
12
12
12
12
12
12 12
11
00
111 2 2 2
111 2 2 2 111 2 2 2
11
,
4
11
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
pp pp
Att
tih t ih
tihtih tihtih
++
−−
==
⎡
⎢
′′
ϕ= ϕ +
⎢
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
⎣
+++
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − + ⎤ ⎡τ − + ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦
∑∑
∫∫
() ( )
12
12
12
111 2 2 2
1
,
N
N
pp
dd R
tih t ih
⎤
⎥
+ττ+
⎥
⎡τ − + ⎤ ⎡τ − + ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
⎦
(3.3.2)
где точки
k
t получены путем равномерного разбиения отрезка
на N частей:
()
1
1
1
1
2
10,1,,; ;;
2
p
kk
kk
tt
k
tkNthN
N
−
+
+
′
=− + = = =
K
2
1
2
.
p
hN
−
=
Теорема 3.3.1. Пусть
() ()
12
12
,1
rr
Wϕτ τ ∈
и
(
)
(
)
12 12
,,.
ϕ
ττ −ϕττ ≤ε
%
Для интеграла Адамара (3.3.1) кубатурная формула (3.3.2)
при
(
)
12 1 2
min , 1,rr h h h>== и 2p
=
имеет погрешность
12
2
2
ln .
NN
ROhh
h
⎛⎞
ε
=+
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство
. Представим интеграл (3.3.1) в виде суммы
()
()( )
()
()( )
()
()( )
()
()( )
12
12 12
21
12 12
12
11
12 1 2 12 1 2
0
11 2 2 11 2 2
11 1 1
11
12 1 2 12 1 2
11 2 2 11 2 2
11
,,
lim
,,
tt
pp pp
tt
pp pp
tt
dd dd
A
tt tt
dd dd
tt tt
−η −η
η→
−− − −
−η −η
+η − − +η
⎡
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
⎢
ϕ= = +
⎢
τ− τ − τ− τ −
⎣
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
++ +
τ− τ − τ− τ −
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
()
()( )
()
1212
12
11
12 1 2
2
11 2 2
,
.
pppp
tt
dd
tt
+−
+η +η
⎤
ϕτ τ τ τ ψη
+
⎥
η
⎥
τ− τ −
⎦
∫∫
построим кубатурную формулу следующего вида: N −1 N −1 tk1 +1 tk2 +1 ⎡ ∑∑ ( )∫ ∫ 1 1 2 ⎢ 1 Aϕ = ϕ tk′1 , tk′ 2 + ⎢ ⎡τ − t − ih ⎤ 1 ⎡τ − t − ih ⎤ p2 p 4 k =0 k =0 1 2 tk1 tk2 ( ) ⎣⎣ 1 1 1 ⎦ ⎣ 2 2 2 ⎦ ( ) 1 1 + + + p1 p2 p1 p2 ⎣ 1− ( t1− ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ ⎣ 2 − ( t2 + ih2 ) ⎤⎦ ⎡τ ⎣ 1− ( t1+ ih1 )⎤⎦ ⎡τ ⎣ 2− ( t2− ih2 )⎤⎦ ⎡τ ⎤ 1 ⎥ dτ dτ + R + N1N 2 , (3.3.2) p1 p2 ⎥ 1 2 ⎡τ ⎣ 1 − ( t1 + ih ) ⎤ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎡τ − ( t 2 + ih ) ⎤ 2 ⎦ ⎦ где точки tk получены путем равномерного разбиения отрезка −1 t +t на N частей: tk = −1 + 2k N ( k = 0,1,K, N ) ; tk′ = k k +1 ; h1 = N p1 ; 2 −1 p2 h2 = N . Теорема 3.3.1. Пусть ϕ( τ1, τ2 ) ∈W rr 1 2 (1) и ϕ ( τ1, τ2 ) − ϕ% ( τ1, τ2 ) ≤ ε. Для интеграла Адамара (3.3.1) кубатурная формула (3.3.2) при min ( r1 , r2 ) > 1, h1 = h2 = h и p = 2 имеет погрешность ⎛ ⎞ RN1 N 2 = O ⎜ h 2 ln h + ε 2 ⎟ . ⎝ h ⎠ Доказательство. Представим интеграл (3.3.1) в виде суммы 1 1 ⎡t1 −η t2 −η ϕ ( τ , τ ) d τ d τ ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 ∫∫ ∫ ∫ 1 2 1 2 Aϕ = = lim ⎢ + p1 p2 η→0 ⎢ p1 p2 −1 −1 ( τ1− t1 ) ( τ 2 − t 2 ) ⎣ −1 −1 ( τ1− t1 ) ( τ 2 − t 2 ) 1 t2 −η t1 −η 1 ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 + ∫ ∫ p p + ∫ ∫ p p + t +η −1 ( τ1 − t1 ) ( τ2 − t2 ) −1 t +η ( τ1 − t1 ) ( τ 2 − t2 ) 1 2 1 2 1 2 1 1 ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 ψ ( η) ⎤ ∫ ∫ p1 ( τ2 − t2 ) p2 + ⎥. η p1 + p2 −2 ⎦⎥ t1 +η t2 +η ( τ1 − t1 ) 90
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »