Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 88 стр.

UptoLike

89
Оценим одно из слагаемых последней группы:
()()
() ()
11
12
12
12
12
12
12
11
11 2 2
12
12
11 2 2
11
12
31
00
1111 2 222
22
12
00
1111 2 222
4
.
kk
kk
kj k j
kj k j
tt
NN
pp
kk
tt
NN
tt
pp
kk
tt
dd
r
tnh t nh
dd
tnh t nh
++
++ + +
++
−−
==
==
ττ
ε
≤≤
τ− τ
ττ
≤ε
τ− τ
∑∑
∫∫
∑∑
∫∫
rr
rr
При
12
2pp== получаем следующую оценку:
31
12
.r
hh
ε
Собирая оценки каждого слагаемого, получаем оценку погрешно-
сти кубатурной формулы при
12
2pp
=
= :
12
34
12 1 2
12
11
ln ln .
NN ij
ij
RrAhhhh
hh
==
⎛⎞
ε
== +
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
Теорема доказана.
3.3. Кубатурная формула для вычисления
интеграла Адамара на топологическом
произведении конечных интервалов
Рассмотрим функцию
() ()
12
12
,1
rr
Wϕτ τ на топологическом про-
изведении двух конечных отрезков
[
]
[
]
1,1 1,1 .−× Предположим, что
функция
()
12
,
ϕ
ττ задана своими приближениями
(
)
12
,
ϕ
ττ
%
, причем
(
)
(
)
12 12
,,.ϕτ τ ϕτ τ ε
%
Для интеграла Адамара
()
()( )
12
11
12
12
11 2 2
11
,
pp
Add
tt
−−
ϕτ τ
ϕ= τ τ
τ− τ
∫∫
(3.3.1)
   Оценим одно из слагаемых последней группы:

             N −1 N 2 −1 1  tk   +1 tk +1
           ε 1
                              2
                                                   d τ1d τ2
     r31 ≤      ∑ ∑ ∫ ∫                     r       p1               r      p2
                                                                               ≤
           4 k =0 k = 0
              1    2
                                 τ
                         tk1 tk2 1 − ( t1 − n h
                                             1 1 )     τ 2 − ( t 2 − n h
                                                                      2 2 )
         N1 t                                        N2      tk
           2 k1 + j1 +1            d τ1             2 2 2         + j +1
                                                                      d τ2
    ≤ε   ∑ ∫                           r     p1       ∑ ∫                r       p2
                                                                                    .
         k1 =0 tk + j     τ1 − ( t1 − n1h1 )    k2 =0 tk + j τ2 − ( t2 − n2 h2 )
                 1 1                                    2 2


   При p1 = p2 = 2 получаем следующую оценку:
                                            r31 ≤ ε           .
                                                       h1h2
   Собирая оценки каждого слагаемого, получаем оценку погрешно-
сти кубатурной формулы при p1 = p2 = 2 :
                                 3   4
                                                 ⎛                               ε ⎞
               RN1N 2 =      ∑∑ rij = A ⎜⎝ h1h2 ln h1 ln h2 + h1h2 ⎟⎠ .
                             i =1 j =1

   Теорема доказана.

     3.3. Кубатурная формула для вычисления
       интеграла Адамара на топологическом
        произведении конечных интервалов
   Рассмотрим функцию ϕ ( τ1 , τ2 ) ∈ W r1r2 (1) на топологическом про-
изведении двух конечных отрезков [ −1,1] × [ −1,1]. Предположим, что
функция ϕ ( τ1 , τ2 ) задана своими приближениями ϕ% ( τ1 , τ2 ) , причем
 ϕ ( τ1 , τ2 ) − ϕ% ( τ1 , τ2 ) ≤ ε. Для интеграла Адамара

                            1 1
                                             ϕ ( τ1 , τ2 )
                   Aϕ =     ∫ ∫ (τ             p1
                                                    ( τ2 − t2 ) p2
                                                                      d τ1d τ2         (3.3.1)
                            −1 −1 1 − t1 )




                                                 89