Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

91
По определению интеграла Адамара функция
(
)
ψ
η выбирается
таким образом, чтобы существовал предел. Доказательство теоремы
при произвольных
1
p
и
2
p
трудоемкое, поэтому проведем доказа-
тельство в предположении
12
2.pp
=
= Это доказательство отличает-
ся от общего случая лишь меньшим числом слагаемых в каждом ин-
теграле.
Нетрудно видеть, что
()
()( )
(
)
()
()( )
()
()
()()
()
()
()( )
()
()( )
()
12 12
12
1,1
12 1 2 12 1 2
1
22
11 2 2
11 2 2
11 11
1,0 0,1
11 22
1
11 2 1 2 2 1 2
11
,,
, 1 1, 1, 1
.
11 11
tt tt
tt
dd D dd
I
tt
tt
DdD d
tt t t tt
−η −η −η −η
−− −−
−η
−−
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
== +
τ− τ −
τ− τ −
ϕτ − τ ϕ− τ τ ϕ− −
++++ψη
τ− + + τ − + +
∫∫ ∫∫
∫∫
Представляя аналогичным образом остальные слагаемые правой
части формулы (3.3.2), имеем:
()
()( )
()
()
()( )
()
()
()( )
()
()
()( )
()
()
()( )
12
21
12
12
11
1,1
12 1 2 12 1 2
22
0
11 2 2
11 2 2
11 1 1
11
1,1 1,1
12 1 2 12 1 2
11 2 2 11 2 2
11
1
1,1
12 1 2
11 2 2
,,
lim
,,
,
tt
tt
tt
tt
dd D dd
tt
tt
Ddd Ddd
tt tt
Ddd
tt
−η −η
η→
−− − −
−η −η
+η − − +η
++η
⎡
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
⎢
=
+
⎢
τ− τ−
τ− τ −
⎣
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
+++
τ− τ− τ− τ−
ϕτ τ τ τ
τ− τ−
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
∫
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()( )
()
()( )
1
12
2
11
11
211
1
11
11 22
211 1 22
11
1
22
122 1212
1
,1
1
1
,1 1,
11
11
1,
1, 1 1,1
1
.
11111
d
tt
dd
ttt t
d
tttttt
τ
η−
ττ
−−
τ
−
⎤
′
ϕτ− τ
⎥
+−
⎥
−− τ−
⎥
⎦
′′
ϕτ τ ϕ−τ τ
−+ −
−τ−−− τ−
′
ϕττ
ϕ− − ϕ
−+−
−τ−−−−−−−
∫∫
∫∫
∫
   По определению интеграла Адамара функция ψ ( η) выбирается
таким образом, чтобы существовал предел. Доказательство теоремы
при произвольных p1 и p2 трудоемкое, поэтому проведем доказа-
тельство в предположении p1 = p2 = 2. Это доказательство отличает-
ся от общего случая лишь меньшим числом слагаемых в каждом ин-
теграле.
   Нетрудно видеть, что
                                                                          D( )ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
              t1 −η t2 −η                                   t1 −η t2 −η
                             ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                                                                            1,1
    I1 =       ∫ ∫          ( τ1 − t1 )2 ( τ2 − t2 )2
                                                        =    ∫ ∫            ( τ1 − t1 )( τ2 − t2 )
                                                                                                     +
               −1 −1                                         −1 −1

            D( ) ϕ ( τ1 , −1) d τ1 2 D( )ϕ ( −1, τ2 ) d τ2
    t1 −η     1,0                   t  0,1
                                                              ϕ ( −1, −1)
+    ∫                            +        ∫               +                 + ψ ( η) .
     −1
             ( τ1 − t1 )(1 + t2 )     (1 + t1 )( τ2 − t2 ) (1 + t1 )(1 + t2 ) 1
                                           −1

   Представляя аналогичным образом остальные слагаемые правой
части формулы (3.3.2), имеем:
         1 1
                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2       ⎡t1 −η t2 −η D(1,1)ϕ ( τ , τ ) d τ d τ
         ∫∫                                                  ∫ ∫
                                                                       1 2         1 2
                                         = lim ⎢                                       +
      −1 −1 ( τ1 − t1 ) 2
                          ( τ 2 − t 2 ) 2 η→0 ⎢
                                               ⎣ −1 −1
                                                              ( τ1 − t1 )( τ 2 − t 2 )
                        D( ) ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 1       D( ) ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
              1 t2 −η     1,1                        t −η 1   1,1
      +       ∫ ∫         ( τ1 − t1 )( τ2 − t2 )
                                                   +           ∫ ∫
                                                              ( τ1 − t1 )( τ2 − t2 )
                                                                                        +
          t1 +η −1                                            −1 t2 +η

                                               ⎤
                   D( ) ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 ⎥             ϕτ1 ( τ1 , −1) d τ1
          1      1   1,1                                   1 ′
                                                   1
          ∫ ∫                                    +
                     ( τ1 − t1 )( τ2 − t2 ) ⎥⎥ ( −1 − t2 ) −1 ( τ1 − t1 )    ∫   −
      t1 + η t2 +η                             ⎦
           1
                        1
                            ϕ′τ1 ( τ1 ,1) d τ1         1
                                                                 1
                                                                      ϕ′τ2 ( −1, τ2 ) d τ2
      −
        (1 − t2 )     ∫ ( τ1 − t1 )              +
                                                   ( −1 − t1 )   ∫         ( τ 2 − t2 )
                                                                                             −
                      −1                                         −1

               1
                      1
                            ϕ′τ2 (1, τ2 ) d τ2           ϕ ( −1, −1)                      ϕ (1,1)
      −
            ( t1 )
             1 −      ∫ ( τ2 − t2 )              +                               −
                                                     ( −1 − t1 )( −1 − t2 ) (1 − t1 )(1 − t2 )
                                                                                                    .
                      −1




                                                         91

Страницы