Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

87
имеем:
()
()
1
11
1
1
11
22
11 11 11
1
ln ;
L
dt
A
h
ttnh
h
τ−
≤
τ− τ− +
∫
r
()
2
22
2
11
22
22 22 22
2
ln .
L
dA
h
ttnh
h
τ
≤
τ− τ− +
∫
r
Первое слагаемое оценивается следующим образом:
()( )
()
11
22
1
12 1 2
2
11 1 2 1 2 1 2
12 2 1
ln ln .
41!1!
Ahh
rhhhhhh
pp h h
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
≤++
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
−−
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
Оценим одно слагаемое из второй группы, полагая, что
)
1
,,1,2
ijj
ttt i
+
⎡
∈=
⎣
и что
()
()
()
()
1,0 0,1
12 12
max max , , max , 1:Dtt Dtt
⎛⎞
ϕ
ϕ≤
⎜⎟
⎝⎠
()()
()()
()
11
11
12
12
12
12
12
11
11
12
12
12
12
12
11
1
112
11
21
00
1111 2 222
1
112
''
11
1111 2 222
1
112
1111
2
2
2
2
2
kk
kk
kk
kk
kk
tt
NN
pp
kk
tt
kk
tt
NN
pp
kk
tt
kk
tt
dd
r
tnh t nh
tt
dd
tnh t nh
tt
dd
tnh
++
++
+
−−
==
+
==
+
+
τ− τ τ
≤
≤
τ− − τ − −
+
τ− τ τ
≤+
τ− − τ− −
+
τ− τ τ
+
τ− −
∑∑
∫∫
∑∑
∫∫
rr
rr
r
()
11
12
12
12
11 2 2
12
11
11
2222
kk
kk
tt
jj
pp
kj k j
tt
tnh
++
++
=− = −
+
τ− −
∑∑
∫∫
r
имеем:

                                        d ( τ1 − t1 )                         A1
                            ∫           1            r
                                                                      ≤
                                                                               1
                                                                                       ln h1 ;
                            L1 τ1 − t1 2 ( τ1 − t1 + n1h1 )               h1       2


                                                d τ2                           A2
                        ∫               1                   r
                                                                          ≤
                                                                                   1
                                                                                           ln h2 .
                       L2    τ2 − t2        2   ( τ2 − t2 + n2 h2 )           h2       2

   Первое слагаемое оценивается следующим образом:
                             ⎡           1         1         ⎤
                A12          ⎢     ⎛ h1 ⎞ 2 ⎛ h2 ⎞ 2      1
r11 ≤                           h1 ⎜ ⎟ + h2 ⎜ ⎟ + ( h1h2 ) 2 ⎥ ln h1 ln h2 .
      4 ( p1 − 1)!( p2 − 1)! ⎢ ⎝ h2 ⎠       ⎝ h1 ⎠           ⎥
                             ⎢⎣                              ⎥⎦
    Оценим одно слагаемое из второй группы, полагая, что
ti ∈⎡⎣t j , t j+1 , i =1,2 и что max ⎜⎛ max D( ) ϕ( t1, t2 ) ,max D( )ϕ ( t1, t2 ) ⎟⎞ ≤ 1:
             )                                1,0                   0,1
                                     ⎝                                             ⎠

                                                              tk1 +1 + tk1
                 N1 −1 N 2 −1 tk1 +1 tk2 +1            τ1 −                        d τ1 d τ2
                                                                      2
      r21 ≤      ∑ ∑ ∫ ∫                                    r     p              r      p
                                                                                                         ≤
                 k1 =0 k2 =0 tk tk              τ1 − ( t1 − n1h1 ) 1 τ2 − ( t2 − n2 h2 ) 2
                               1   2


                                                           tk1 +1 + tk1
            N1      N 2 tk1 +1 tk2 +1               τ1 −                      d τ1 d τ2
                                                                  2
      ≤2   ∑ ∑ ∫ ∫'     '
                                                    r     p              r      p
                                                                                                     +
           k1 =1 k2 =1 tk tk            τ1 − ( t1 − n1h1 ) 1 τ2 − ( t2 − n2 h2 ) 2
                         1   2


                                                                  tk1 +1 + tk1
             j1 +1       j2 +1 tk1 +1 tk2 +1               τ1 −                        d τ1 d τ2
                                                                          2
      +2     ∑ ∑ ∫ ∫                                          r     p              r      p
                                                                                                             +
           k1 = j1 −1 k2 = j2 −1 tk tk            τ1 − ( t1 − n1h1 ) 1 τ2 − ( t2 − n2 h2 ) 2
                                   1   2




                                                        87

Страницы