Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

86
Заметим, что функция
()
(
)
()
(
)
()
()
()
()
()
12 12
12 12
1, 1 1, 1
12 12 12 12
1, 1 1, 1
12 21
,,,
,,
pp pp
pp pp
DDt
DtDtt
−− −−
−− −−
ϕττ= ϕττ− ϕτ−
−ϕτ+ϕ
принадлежит классу функций Гельдера
11
,
22
.H
Тогда
()
11
22
12 1 2 12 1 1 2 2
, At tϕ τ τ ≤ −τ −τ
и
()( )
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
12
12
11
22
11 2 2
12
11 1 1 2
12
1111 2 222
11
22
11 2 2
21 2
1111 2 222
11
22
11 2 2
12 1
1111 2 222
41!1!
LL
LL
tt
A
rhdd
pp
tnh t nh
tt
hd d
tnh t nh
tt
hh d d
tnh t nh
−
−
−−
⎡
τ− τ −
⎢
≤ττ+
⎢
−−
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
⎢
⎣
τ− τ −
+ττ+
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
τ− τ −
+ττ
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
rr
rr
rr
12
2
.
LL
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
∫∫
Двойной интеграл распался на сумму произведений криволиней-
ных интегралов. Каждый из них оценивается на замкнутых кри-
вых
1
L и
2
.L Выделим на кривой
1
L два интервала:
1
L
′
и
1
L
′
′
, где
1
L
′
−
дуга, отсекаемая от
1
L окружностью радиуса
1
h с центром в точке
1
t ,
111
\.LLL
′′ ′
=
Тогда
()
()
1
11
1
11
22
11 11 11
1
,
L
dt
A
ttnh
h
′
τ−
≤
τ− τ− +
∫
r
()
()
1
11
1
1
11
22
11 11 11
1
ln ,
L
dt
A
h
ttnh
h
′′
τ−
≤
τ− τ− +
∫
r
    Заметим, что функция

          ϕ12 ( τ1 , τ2 ) = D(
                                  p1 −1, p2 −1)
                                                     ϕ ( τ1 , τ2 ) − D(
                                                                           p1 −1, p2 −1)
                                                                                             ϕ ( t1 , τ2 ) −

                 − D(
                        p1 −1, p2 −1)
                                        ϕ ( τ1 , t2 ) + D(
                                                                p1 −1, p2 −1)
                                                                                ϕ ( t2 , t1 )

принадлежит классу функций Гельдера H 1 , 1 .
                                       2 2
   Тогда
                                                                     1                   1
                         ϕ12 ( τ1 , τ 2 ) ≤ A12 t1 − τ1 2 t2 − τ 2 2
и
                             ⎡                     −1                                  1
               A12           ⎢h      ( τ   −  t  )    2                ( τ    −  t   )   2
                                            ∫                                    ∫
                                        1      1                           2       2
 r11 ≤                         1                  r         d τ1                     r          d τ2 +
       4 ( p1− 1)!( p2 − 1)! ⎢     ⎡τ  −  ( t −  n  h   ) ⎤         ⎡τ   − ( t   −  n   h   ) ⎤
                             ⎢⎣ L1 ⎣ 1       1     1  1   ⎦      L2 ⎣  2       2      2   2   ⎦
                                    1                                           −1
                    ( τ1 − t1 ) 2                              ( τ 2 − t2 ) 2
          + h2 ∫               r        d τ1 ∫                             r        d τ2 +
                 ⎡τ
                 ⎣ 1 − ( t1 − n1h1 ) ⎤⎦                     ⎣ 2 − ( t2 − n2 h2 ) ⎤⎦
                                                            ⎡τ
               L  1                         L           2

                                    −1                                              −1
         + h1h2 ∫
                    ( τ1 − t1 ) 2 d τ                           ( τ2 − t2 ) 2 d τ ⎤⎥ .
                               r        1∫                                 r        2⎥
                  ⎡τ − ( t1 − n1h1 ) ⎤⎦                      ⎣ 2 − ( t2 − n2 h2 )⎤⎦
                                                             ⎡τ
                L ⎣ 1
                 1               2       L             ⎦                             ⎥
     Двойной интеграл распался на сумму произведений криволиней-
ных интегралов. Каждый из них оценивается на замкнутых кри-
вых L1 и L2 . Выделим на кривой L1 два интервала: L1′ и L1′′ , где L1′ −
дуга, отсекаемая от L1 окружностью радиуса h1 с центром в точке t1 ,
L1′′ = L1 \ L1′.
     Тогда
                                                d ( τ1 − t1 )                       A1
                            ∫                   1     r
                                                                          ≤
                                                                                     1
                                                                                         ,
                            L1′ τ1 − t1 2 ( τ1 − t1 + n1h1 )                    h1 2

                                        d ( τ1 − t1 )                      A1
                        ∫               1          r
                                                                      ≤
                                                                                1
                                                                                     ln h1 ,
                        L1′′ τ1 − t1 2 ( τ1 − t1 + n1h1 )                 h1 2



                                                        86

Страницы