Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 83 стр.

        N1 −1 N 2 −1                          tk1 +1 tk2 +1
                                                                                          d τ1d τ2
    −   ∑ ∑ ϕ ( tk′ , tk′ ) ∫ ∫                                                  r         p1              r          p2
                                                                                                                         +
                                                                    ⎣ 1 − ( t1 + n1h1 ) ⎤⎦ ⎡τ ⎣ 2 − ( t2 + n2 h2 ) ⎤⎦
                                 1        2
        k1 =0 k2 =0                            tk1 tk2              ⎡τ

         N1 −1 N2 −1                                                 tk1 +1 tk2 +1
                                                                                                           d τ1d τ2
         ∑ ∑ ϕ (tk′ , tk′ ) − ϕ% (tk′ , tk′ ) ∫ ∫
  1
+                                                                                                                                        +
                                                                                                  r         p                r        p
  4                                                                                  ⎡⎣ τ1− ( t1− n1h1 ) ⎤⎦ 1 ⎡⎣ τ2 − ( t2 − n2 h2 )⎤⎦ 2
                              1       2                1        2
         k =0 k = 0
          1     2                                                      tk1 tk2

         N1 −1 N2 −1                                                tk1 +1 tk2 +1
                                                                                                           d τ1d τ2
         ∑ ∑ ϕ(tk′ , tk′ ) − ϕ% (tk′ , tk′ ) ∫ ∫
  1
+                                                                                                                                        +
                                                                                                  r        p                r         p
  4                                                                                 ⎡⎣τ1 − ( t1 − n1h1 ) ⎤⎦ 1 ⎡⎣τ2 − ( t2 + n2 h2 ) ⎤⎦ 2
                             1       2             1        2
         k =0 k =0
          1     2                                                    tk1 tk2

        N1 −1 N2 −1                                                 tk1 +1 tk2 +1
                                                                                                           d τ1d τ2
         ∑∑ (                            ) (                    ) ∫ ∫
  1
+                      ϕ tk′1 , tk′ 2 − ϕ% tk′1 , tk′ 2                                                                                  +
                                                                                                  r         p               r         p
  4     k1 =0 k2 =0                                                  tk1 tk2        ⎡⎣τ1 − ( t1 + n1h1 ) ⎤⎦ 1 ⎡⎣τ2 − ( t2 − n2 h2 ) ⎤⎦ 2

        N1 −1 N2 −1                                                 tk1 +1 tk2 +1
                                                                                                           d τ1d τ2
         ∑∑ (                            ) (                    ) ∫ ∫
    1
+                      ϕ tk′1 , tk′ 2 − ϕ% tk′1 , tk′ 2                                                                                  =
                                                                                                  r        p                r         p
    4   k1 =0 k2 =0                                                  tk1 tk2        ⎡⎣τ1 − ( t1 + n1h1 ) ⎤⎦ 1 ⎡⎣τ2 − ( t2 + n2 h2 ) ⎤⎦ 2
                                                                          3     4
                                                                     =   ∑∑ rij .
                                                                         i =1 j =1


        Оценка погрешности RN1N 2 складывается из суммы трех групп
слагаемых r1 j + r2 j + r3 j , причем каждая группа состоит из четырех
слагаемых. В первую группу входят слагаемые вида

                                           ⎡
                                                       D( 1
                                                           p −1, p2 −1)
                              1            ⎢                            ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
r11 = lim
              η1 →0 4 ( p1 − 1)!( p2 − 1)! ⎢
                                                                 r    ∫∫
                                                    ⎡τ1 − ( t1 − n1η1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                    ⎣                      ⎣  2
                                                                                          r
                                                                                 − ( t2 − n2η2 ) ⎤⎦
                                                                                                    −
              η →0
                                           ⎢⎣ L1 L2
               2

                                                                                    ⎤
                                                 D(
                                                           p1 −1, p2 −1)
                                                        ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2 ⎥
                             −       ∫∫
                                     ⎡τ
                                     ⎣ 1
                                                  r
                                         − ( t1 − n1h1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                            ⎣  2
                                                                          r
                                                                 − ( t2 − n2 h2 )⎤⎦ ⎥
                                                                                       ;
                               L1 L2                                                ⎥⎦




                                                                              84