Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

85
во вторую группу –
()
() ( )
12
12
12 1 2
21
1111 2 222
,
1
4
pp
LL
dd
r
tnh t nh
ϕτ τ τ τ
=−
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
rr
()
() ( )
11
12
12
12
12
12
12
11
12
00
1111 2 222
,;
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
dd
tt
tnh t nh
++
−−
==
ττ
′′
−ϕ
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∑∑
∫∫
rr
в третью группу –
()()
() ( )
11
12
12
12 12
12
12
12
11
12
31
00
1111 2 222
1
,, .
4
kk
kk
tt
NN
kk kk
pp
kk
tt
dd
rtttt
tnh t nh
++
−−
==
ττ
′′ ′′
=ϕ−ϕ
τ− − τ− −⎡⎤⎡ ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
∑∑
∫∫
%
rr
Оценим по одному слагаемому из каждой группы. Проведем сна-
чала оценку
11
r :
()( )
()
()
()()()( )( )
()( )()( )
()( )
12
1
12
20
12
1
20
1, 1
11 1 2
0
12
12 2 1 1 21 1 2 2 1212 12
12
1111 2222 1111 2222
1,
0
12
1
lim ,
41!1!
1
lim
41!1!
pp
LL
pp
rD
pp
nth nth nnhh
dd
tn t n tnh t nh
D
pp
→
→
−−
η→
η
−
η→
η
⎡
=ϕττ×
⎢
⎣
−−
⎤
τ − −η + τ − −η + −ηη
×ττ=
⎥
⎡τ − − η ⎤⎡τ − − η ⎤⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦
⎦
=
−−
∫∫
rr rr
rrrr
()
()
()
()
()
()
()
()
()()()( )( )
()( )()( )
12
12
12 12
11,1
12 12
1, 1 1, 1
12 12
12 2 1 1 21 1 2 2 1212 12
12
1111 2222 1111 2222
,,
,,
.
pp
LL
pp pp
Dt
DtDtt
nth nth nnhh
dd
tn t n tnh t nh
−−−
−− −−
⎡
ϕ
ττ − ϕ τ −
⎢
⎣
⎤
−ϕτ+ϕ×
⎥
⎦
⎤
τ − −η + τ − −η + −ηη
×ττ
⎥
⎡τ − − η ⎤⎡τ − − η ⎤⎡τ − − ⎤⎡τ − − ⎤
⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ ⎦
⎦
∫∫
rr rr
rrrr
    во вторую группу –

                         1                            ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                r21 =         ∫ ∫ − ( t − nr h )⎤ p                                 r          p2
                                                                                                       −
                                                                       ⎣ 2 − ( t2 − n2 h2 ) ⎤⎦
                         4
                              L L ⎡τ                                   ⎡τ
                                                                  1
                              1 2 ⎣ 1  1    1 1 ⎦

        N1 −1 N 2 −1                tk1 +1 tk2 +1
                                                                  d τ1d τ2
    −   ∑ ∑ ϕ ( tk′ , tk′ ) ∫ ∫                              r     p1           r       p2
                                                                                           ;
                                                    ⎣ 1 ( 1 1 1 )⎦ ⎣ 2 ( 2       2 2 )⎦
                          1    2
        k1 =0 k2 =0                    tk1 tk2      ⎡τ − t − n h ⎤    ⎡τ  − t − n h   ⎤

    в третью группу –

             N −1 N −1                                 tk1 +1 tk2 +1
                                                                                              d τ1d τ2
             ∑∑ (                   ) (               ) ∫ ∫
      1 1 2
r31 =             ϕ tk′1 , tk′ 2 − ϕ% tk′1 , tk′ 2                                                                        .
                                                                                     r        p1             r         p2
                                                                       ⎣⎡τ1 − ( t1 − n1h1 ) ⎦⎤ ⎣⎡τ2 − ( t2 − n2h2 ) ⎦⎤
      4 k =0 k =0
         1    2                                         tk1 tk2


   Оценим по одному слагаемому из каждой группы. Проведем сна-
чала оценку r11 :

                            1                                          ( p1−1, p2 −1)ϕ ( τ , τ ) ×
          r11 =                           lim
                  4 ( p1 − 1)!( p2 − 1)! η1→0          ∫ ∫ ⎡⎢⎣ D                          1 2
                                                       L1 L2
                                              η2→0
  r                               r                            rr
 n ( τ − t )( h − η ) + n2 ( τ1 − t1 )( h2 − η2 ) + n1n2 ( h1h2 − η1η2 ) ⎤
× 1 2 r2 1 1                         r                    r                       r          ⎥ d τ1d τ2 =
 ⎡τ
 ⎣  1− ( t1− n1η1 ) ⎤
                    ⎦⎣⎡τ 2 − ( t 2 − n2 η2 ) ⎤
                                             ⎦⎣⎡τ1− ( t1− n1h1 ) ⎤
                                                                 ⎦⎣⎡τ 2 − ( t 2 − n2 h2 ) ⎤
                                                                                          ⎦ ⎥⎦

              1                                      ( p1−1, p2 −1) ϕ τ , τ − D( p1−1, p2 −1)ϕ t , τ −
=                           lim
    4 ( p1 − 1)!( p2 − 1)! η1→0           ∫ ∫ ⎢⎣⎡ D                  ( 1 2)                   ( 1 2)
                                          L1 L2
                               η2→0

                − D(
                       p1 −1, p2 −1)
                                       ϕ ( τ1, t2 ) + D(
                                                           p1 −1, p2 −1)
                                                         ϕ ( t1, t2 ) ⎤ ×
                                                                      ⎥⎦
 r                           r                          rr
 n ( τ − t )( h − η ) + n2 ( τ1 − t1 )( h2 − η2 ) + n1n2 ( h1h2 − η1η2 ) ⎤
× 1 2 r2 1 1                   r                  r                       r      ⎥ d τ1d τ2 .
 ⎣ 1− ( t1−n1η1 ) ⎤⎦ ⎡τ
 ⎡τ                  ⎣ 2− ( t2−n2η2 )⎤⎦ ⎡τ
                                        ⎣ 1−( t1− n1h1 )⎤⎦ ⎡τ
                                                           ⎣ 2− ( t2− n2 h2 )⎤⎦ ⎦⎥



                                                        85

Страницы