Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 94 стр.

   Отметим, что все эти оценки получены в предположении,
что −1 + Δ ≤ t1 , t2 ≤ 1 − Δ , где Δ − постоянная. Из полученных оценок
следует
                                                               (
                                              R11 ≤ O h 2 ln h .             )
   Оценим выражение R21 (выражения R2i , i = 2,3, 4 оцениваются
аналогично):

                           1⎡
                                        1 1
                                          ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                      R21 ≤ ⎢
                           4⎢      ( τ −
                                        ∫∫
                                         t  +  ih  ) 2
                                                       ( τ   − t   + ih ) 2
                                                                            −
                            ⎣ −1 −1 1 1                    2     2

             N1 −1 N 2 −1                   tk1 +1 tk2 +1                                        ⎤
                                                                                    d τ1d τ2
         −   ∑ ∑ ϕ ( tk′ , tk′ ) ∫ ∫                                          2                2⎥
                                                                                                 ⎥≤
             k1 =0 k2 =0
                                1       2
                                             tk1   t k2       ( τ1 − t1 + ih ) ( τ2 − t2 + ih ) ⎥⎦

                 1 1
                     N −1 N −1 tk1 +1 tk2 +1
                         2                                                      (
                                                   ϕ ( τ1 , τ2 ) − ϕ tk′1 , tk′ 2 d τ1d τ2 )
               ≤     ∑∑ ∫ ∫
                 4 k =0 k =0                                                 2
                                                       τ1 − t1 + ih τ2 − t2 + ih
                                                                                                 2
                                                                                                       ≤
                      1     2       tk1 tk2

      ⎛ N −1 t k1 +1                     ⎞ ⎛ N −1 tk2 +1                       ⎞
   A ⎜ 1                    d τ1         ⎟⎜ 2                    d τ2          ⎟    ⎛ 1 ⎞
≤     ⎜   ∑ ∫                    2       ⎟⎜            ∑ ∫             2       ⎟ = O⎜
                                                                                         2⎟
                                                                                            .
  4 N ⎜ k =0
               t     ( τ1 − t1 )   + h 2
                                         ⎟ ⎜ k = 0 t     ( τ 2 − t 2 )   + h 2
                                                                               ⎟    ⎝ Nh  ⎠
      ⎝ 1        k
                  1                      ⎠⎝ 2        k2                        ⎠
   Оценим выражение R31 (выражения R3i , i = 2,3, 4 оцениваются
аналогично)
        N1 −1 N 2 −1                                               tk1 +1 tk2 +1
                                                                                               dτ dτ
 R31 ≤   ∑ ∑ ϕ (tk′ , tk′ )− ϕ% (tk′ , tk′ ) ∫ ∫               1 2                                         =
                                                 ( τ1−t1+ ih ) ( τ2 −t2 + ih )2
                                                              2
                            1       2              1      2
         k =0 k =0
         1       2                           t t                     k1    k2

                           ⎛     ⎞
                       = O ⎜ ε 2 ⎟.
                           ⎝ h ⎠
Собирая вместе оценки выражений Rij , i = 1, 2,3, j = 1, 2,3, 4, убежда-
емся в справедливости теоремы.


                                                            95