Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

98
при
12
2pp==имеет погрешность
12
11
22
12 12
12
12
1
ln ln .
NN
R
Oh h h h hh
hh N
⎛⎞
ε
=++
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство
. Рассмотрим интеграл Адамара (3.4.1) в предпо-
ложении, что
(
)
()
12
1
2
,
12
lim , 0, 0 , 1.
ij
ij p
ττ
τ→±∞
τ→±∞
ϕττ= ≤≤−
Тогда
()
()( )
12
12 1 2
11 2 2
,
pp
dd
tt
∞∞
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
τ− τ −
∫∫
()( )
(
)
()
()( )
12
12
1, 1
12 1 2
12 1122
,
1
.
1! 1!
pp
dd
pp t t
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕ
ττ τ τ
=
−− τ−τ−
∫∫
(3.4.3)
Интегрируя по частям, получим
()
() ( )
()( )
()
()
()()
12
12
12
12 1 2
111 2 2 2
1, 1
12 1 2
12
111 2 2
,
,
1
;
1! 1!
pp
pp
dd
tih t ih
dd
pp
tih t ih
∞∞
−∞ −∞
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − − ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
ϕττττ
=
−−
⎡
τ− − ⎤⎡τ − − ⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
()
() ( )
()( )
()
()
()()
12
12
12
12 1 2
111 2 2 2
1, 1
12 1 2
12
111 2 2
,
,
1
;
1! 1!
pp
pp
dd
tih t ih
dd
pp
tih t ih
∞∞
−∞ −∞
−−
∞∞
ττ
−∞ −∞
ϕτ τ τ τ
=
⎡τ − − ⎤ ⎡τ − + ⎤
⎣⎦⎣ ⎦
ϕττττ
=
−−
⎡
τ− − ⎤⎡τ − + ⎤
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
при p1 = p2 = 2 имеет погрешность
           ⎛ 1 1                                     ⎞
RN1N 2 = O ⎜ h1 2 h2 2 ln h1 ln h2 + ε      + 1 h1h2 ⎟ .
                                       h1h2    N
           ⎝                                         ⎠
  Доказательство. Рассмотрим интеграл Адамара (3.4.1) в предпо-
ложении, что
                           ( i, j )
                   lim ϕ
                 τ1 →±∞ τ1τ2
                             ( τ1, τ2 ) = 0, 0 ≤ i, j ≤ p − 1.
                 τ2 →±∞

  Тогда
                        ∞ ∞
                                      ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                         ∫ ∫ (τ                  p1
                                                      ( τ2 − t2 ) p2
                                                                        =
                        −∞ −∞         1 − t1 )

                                                  ( p −1, p2 −1) τ , τ d τ d τ
                     1
                                      ∞ ∞        ϕτ τ1          ( 1 2) 1 2
          =
            ( p1 − 1)!( p2 − 1)!       ∫ ∫            1 2
                                                            ( τ1 − t1 )( τ2 − t2 )
                                                                                     .       (3.4.3)
                                      −∞ −∞

  Интегрируя по частям, получим
             ∞ ∞
                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
             ∫ ∫                           p1                               p2
                                                                                 =
                  ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦
            −∞ −∞ ⎡τ                             ⎣ 2 − ( t2 − ih2 )⎤⎦
                                                 ⎡τ
                                                  ( p −1, p2 −1) τ , τ d τ d τ
                   1
                                  ∞ ∞        ϕτ τ1              ( 1 2) 1 2
        =
          ( p1 − 1)!( p2 − 1)!    ∫ ∫              1 2
                                       ⎡τ − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                            ⎣ 2 − ( t2 − ih ) ⎤⎦
                                                                                         ;
                                 −∞ −∞ ⎣ 1

             ∞ ∞
                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
             ∫ ∫                           p1                               p2
                                                                                 =
                  ⎣ 1 − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦
            −∞ −∞ ⎡τ                             ⎣ 2 − ( t2 + ih2 ) ⎤⎦
                                                 ⎡τ
                                                  ( p −1, p2 −1) τ , τ d τ d τ
                   1
                                  ∞ ∞        ϕτ τ1              ( 1 2) 1 2
        =
          ( p1 − 1)!( p2 − 1)!    ∫ ∫              1 2
                                       ⎡τ − ( t1 − ih1 ) ⎤⎦ ⎡τ
                                                            ⎣ 2 − ( t2 + ih ) ⎤⎦
                                                                                         ;
                                 −∞ −∞ ⎣ 1




                                             98

Страницы