Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

80
(
)
() ( )
()( )
()
()
()( )
12
12
12
12
12 1 2
1111 2 222
1, 1
12 1 2
12
1111 2 222
,
,
1
;
1! 1!
pp
LL
pp
LL
dd
tnh t nh
Ddd
pp
tnh t nh
−−
ϕτ τ τ τ
=
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ + +
⎣⎦⎣ ⎦
ϕτ τ τ τ
=
−−
⎡
⎤⎡ ⎤
τ− − τ − +
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
uuruur
uuruur
(
)
() ( )
12
12
12 1 2
1111 2 222
,
pp
LL
dd
tnh t nh
ϕτ τ τ τ
=
⎡⎤⎡ ⎤
τ− + τ − +
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
uuruur
()( )
(
)
()
()( )
12
12
1, 1
12 1 2
12
1111 2 222
,
1
.
1! 1!
pp
LL
Ddd
pp
tnh t nh
−−
ϕτ τ τ τ
=
−−
⎡
⎤⎡ ⎤
τ− + τ − +
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
uuruur
(3.2.5)
Таким образом, формулы (3.2.4) и (3.2.5) доказывают формулу (3.2.3).
Рассмотрим отдельно интеграл, без коэффициента:
(
)
()
()( )
12
12
1, 1
12 1 2
1111 2 222
,
pp
LL
Ddd
tnh t nh
−−
ϕτ τ τ τ
=
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ − −
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
uuruur
()
()
(
)
()
()( )
()
()
()
()
()( )
12 12
12
12 12
12
1, 1 1, 1
12 12
12
1111 2 222
1, 1 1, 1
12 12
12
1111 2 222
,,
,,
pp pp
LL
pp pp
LL
DDt
dd
tnh t nh
DtDtt
dd
tnh t nh
−− −−
−− −−
ϕτ τ − ϕ τ
=ττ−
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ − −
⎣⎦⎣ ⎦
ϕτ − ϕ
−ττ+
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ − −
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
uuruur
uuruur
()
()
(
)
()
()( )
()
()
()
()
()( )
12 12
12
12 12
12
1, 1 1, 1
12 12
12
1111 2 222
1, 1 1, 1
12 12
12
1111 2 222
,,
,,
pp pp
LL
pp pp
LL
DtDtt
dd
tnh t nh
DtDtt
dd
tnh t nh
−− −−
−− −−
ϕτ− ϕ
+ττ+
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ− −
⎣⎦⎣ ⎦
ϕτ − ϕ
+ττ+
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ− −
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
uuruur
uuruur
                              ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
            ∫∫⎡             uur                      uur       =
                            (                  )                      (                 )
                                      p1                    p2
            L1 L2 τ1 − t1 − n1h1   ⎤     ⎡ τ + t2 + n2 h2 ⎤
                 ⎣                 ⎦ ⎣ 2                  ⎦
                                                       D(
                                                             p1 −1, p2 −1)
                 1                                              ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
    =
        ( p1 − 1)!( p2 − 1)!             ∫∫                uur
                                                            (                 )
                                                                                  uur
                                               ⎡ τ1 − t1 − n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 + n2 h2 ⎤
                                                                                         ;
                                                                                            (          )
                                         L1 L2 ⎣                ⎦⎣                     ⎦
                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                ∫∫⎡             uur                      uur       =
                                    (              )                      (                 )
                                          p1                    p2
                L1 L2 τ1 − t1 + n1h1   ⎤     ⎡ τ − t2 + n2 h2 ⎤
                     ⎣                 ⎦ ⎣ 2                  ⎦

                                                       D(
                                                            p1 −1, p2 −1)
              1                                                               ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
   =                                    ∫∫⎡               uur                    uur       .               (3.2.5)
                                        L L ⎣ τ1 − ( t1 + n1h1 ) ⎦ ⎣ τ2 − ( t2 + n2 h2 ) ⎦
     ( p1 − 1)!( p2 − 1)!                                        ⎤⎡                      ⎤
                                         1 2

Таким образом, формулы (3.2.4) и (3.2.5) доказывают формулу (3.2.3).
Рассмотрим отдельно интеграл, без коэффициента:

                                    D(
                                         p1 −1, p2 −1)
                                                            ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                     ∫ ∫ ⎡τ − ( t − nuurh )⎤ ⎡τ − ( t − nuurh )⎤ =
                     L L ⎣ 1
                      1 2
                                 1     1 1 ⎦⎣ 2      2     2 2 ⎦


                D(
                     p1−1, p2−1)
                               ϕ ( τ1 , τ2 )− D( 1 2 )ϕ ( t1 , τ2 )
                                                                p −1, p −1
    =   ∫∫                   (
                                  uur
                                                   )
                                                      uur
                      ⎡ τ1 − t1 − n1h 1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤    (
                                                                    d τ1d τ2 −
                                                                                    )
        L1 L2         ⎣                    ⎦⎣               ⎦
                D(
                     p1 −1, p2 −1)
                               ϕ ( τ1 , t2 ) − D( 1 2 ) ϕ ( t1 , t2 )
                                                                p −1, p −1
    −   ∫∫                      (
                                  uur
                                                   )
                                                      uur
                      ⎡ τ1 − t1 − n1h 1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤     (
                                                                      d τ1d τ2 +
                                                                                    )
        L1 L2         ⎣                    ⎦⎣                ⎦

                D(
                     p1 −1, p2 −1)
                               ϕ ( t1 , τ2 ) − D( 1 2 )ϕ t , t  p −1, p −1
                                                          ( 1 2 ) dτ dτ +
    +   ∫∫                      (
                                  uur
                                                   )
                                                     uur
                      ⎡ τ1 − t1 − n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤     (
                                                                    1 2
                                                                                    )
        L1 L2         ⎣                   ⎦⎣               ⎦
                D(
                     p1 −1, p2 −1)
                               ϕ ( τ1 , t2 ) − D( 1 2 )ϕ t , t  p −1, p −1
                                                          ( 1 2)
    +   ∫∫                      (
                                  uur
                                                   )
                                                     uur
                      ⎡ τ1 − t1 − n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤
                                                                 d τ1d τ2 +
                                                                 (                  )
        L1 L2         ⎣                   ⎦⎣               ⎦


                                                        80

Страницы