Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

78
Доказательство
. Используя формулы Сохоцкого для двумерного
интеграла типа Коши, докажем справедливость формулы
12 12
12
12 12 12 12
11 2 2 11 2 2
(, ) (, )
()( ) ()( )
pp pp
LL L
dd dd
tt tt
ϕτ τ τ τ ϕτ τ τ τ
=
=
τ− τ − τ− τ −
∫∫ ∫
12 12 12 12
(, ) (, ) (, ) (, )
++ +− −+ −−
=Φ ττ +Φ ττ +Φ ττ +Φ ττ , (3.2.3)
где
12
1
2
12 1 2
12
0
1111 2 222
0
(, )
(, ) lim ;
[ ( )] [ ( )]
pp
L
dd
tn t n
++
η→
η→
ϕ
ττ τ τ
Φττ=
τ− − η τ − − η
∫
uuruur
12
1
2
12 1 2
12
0
1111 2 222
0
(, )
(, ) lim ;
[ ( )] [ ( )]
pp
L
dd
tn t n
+−
η→
η→
ϕ
ττ τ τ
Φττ=
τ− − η τ − + η
∫
uuruur
12
1
2
12 1 2
12
0
1111 2 222
0
(, )
(, ) lim ;
[ ( )] [ ( )]
pp
L
dd
tn t n
−+
η→
η→
ϕ
ττ τ τ
Φττ=
τ− + η τ− − η
∫
uuruur
12
2
2
12 1 2
12
0
1111 2 222
0
(, )
(, ) lim .
[ ( )] [ ( )]
pp
L
dd
tn t n
−−
η→
η→
ϕ
ττ τ τ
Φττ=
τ− + η τ− + η
∫
uuruur
По определению интеграла Адамара [1]
12
12
(1, 1)
12 1 2 12
12
12 1122
11 2 2
(, ) (, )
1
,
(1)( 1)( )( )
()( )
pp
pp
LL
dd D
dd
pp t t
tt
−−
ϕτ τ τ τ ϕτ τ
=ττ
−− τ−τ−
τ− τ −
∫∫
где
12 1 2
()
(, ) ()( )
,.
i
i
i
p
p
pp p p
p
i
DDDD
x
∂
ϕ
ϕ= ϕ ϕ=
∂
   Доказательство. Используя формулы Сохоцкого для двумерного
интеграла типа Коши, докажем справедливость формулы

                         ϕ(τ , τ )d τ d τ                    ϕ(τ , τ )d τ d τ
              ∫ ∫ (τ1 − t11) p2(τ2 1− t22) p = ∫ (τ1 − t11) p2(τ2 1− t22) p
                                    1             2                   1                2
                                                                                           =
             L1 L2                                      L


           = Φ ++ (τ1 , τ2 ) + Φ +− (τ1 , τ2 ) + Φ −+ (τ1, τ2 ) + Φ −− (τ1 , τ2 ) , (3.2.3)

где

                                                      ϕ(τ , τ )d τ d τ
         Φ ++ (τ1 , τ2 ) = lim
                              η →0 ∫ [ τ
                                                    uur 1 p 2 1 2 uur                ;
                                1
                                        L 1
                                            − (t1 − n1η1 )] 1 [τ2 − (t2 − n2η2 )] p2
                              η2 → 0

                                                        ϕ(τ , τ )d τ d τ
         Φ +− (τ1 , τ2 ) = lim
                              η →0 ∫ [ τ − (t − n η )] p [τ − (t + n η )] p
                                                uur 1 2 1 2 uur                                    ;
                                1                               1                              2
                                        1
                                        L    1    1 1      2    2   2 2
                              η2 →0

                                                        ϕ(τ , τ ) d τ d τ
         Φ −+ (τ1 , τ2 ) = lim
                              η →0 ∫ [ τ − (t + n η )] p [ τ − (t − n η )] p
                                                uur 1 2 1 2 uur                                    ;
                                1                               1                              2
                                        1
                                        L    1    1 1       2    2   2 2
                              η2 → 0

                                                      ϕ(τ , τ ) d τ d τ
         Φ −− (τ1 , τ2 ) = lim          ∫ [τ        uur 1 p 2 1 2 uur               .
                              η2 → 0        − (t  + n  η  )] 1 [ τ − (t + n η )] p2
                                        L 1     1     1 1         2    2   2 2
                              η2 → 0

     По определению интеграла Адамара [1]

       ϕ( τ1 , τ2 )d τ1d τ2                     1            D( p1 −1, p2 −1) ϕ(τ1 , τ2 )
 ∫ (τ1 − t1) p (τ2 − t2 ) p
               1                2
                                    =
                                        ( p1 − 1)( p2 − 1)  ∫ (τ1 − t1 )(τ2 − t2 )
                                                                                          d τ1d τ2 ,
 L                                                         L

                                                                          ∂ pi ϕ
где                  D ( p1 , p2 ) ϕ = D ( p1 ) D ( p2 ) ϕ, D( pi ) ϕ =            .
                                                                             pi
                                                                          ∂xi




                                                   78

Страницы