Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

79
Поэтому
12
12 1 2
11 2 2
(, )
()( )
pp
L
dd
tt
ϕ
ττ τ τ
=
τ− τ −
∫
=
12
1
2
(1, 1)
12 1 2
0
12
1111 2 222
0
(, )
1
lim
(1)!( 1)!
()( )
pp
L
Ddd
pp
tn t n
−−
η→
η→
⎡
ϕτ τ τ τ
⎢
+
⎢
−−
⎡
⎤⎡ ⎤
τ− − η τ − − η
⎣
⎦⎣ ⎦
⎣
∫
uur uur
(
)
()
()()
()
()
()( )
12
12
1, 1
12 1 2
1111 2 2 2
1, 1
12 1 2
1111 2 222
,
,
pp
L
pp
L
Ddd
tn t n
Ddd
tn t n
−−
−−
ϕτ τ τ τ
++
⎡⎤⎡⎤
τ− + η τ − −η
⎣⎦⎣⎦
ϕτ τ τ τ
++
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − η τ − + η
⎣⎦⎣ ⎦
∫
∫
uurr
uuruur
()
()
()( )
12
1, 1
12 1 2
1111 2 222
,
.
pp
L
Ddd
tn t n
−−
⎤
ϕτ τ τ τ
⎥
+
⎥
⎡⎤⎡ ⎤
τ− + η τ − + η
⎥
⎣⎦⎣ ⎦
⎦
∫
uuruur
(3.2.4)
По формуле Коши
(
)
() ( )
()( )
()
()
()( )
12
12
12
12
12 1 2
1111 2 222
1, 1
12 1 2
12
1111 2 222
,
,
1
;
1! 1!
pp
LL
pp
LL
dd
tnh t nh
Ddd
pp
tnh t nh
−−
ϕτ τ τ τ
=
⎡⎤⎡ ⎤
τ− − τ − −
⎣⎦⎣ ⎦
ϕτ τ τ τ
=
−−
⎡
⎤⎡ ⎤
τ− − τ − −
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
uuruur
u
ur uuuur
(
)
() ( )
()( )
()
()
()( )
12
12
12
12
12 1 2
1111 2 222
1, 1
12 1 2
12
1111 2 222
,
,
1
;
1! 1!
pp
LL
pp
LL
dd
tnh t nh
Ddd
pp
tnh t nh
−−
ϕτ τ τ τ
=
⎡⎤⎡ ⎤
τ− + τ − −
⎣⎦⎣ ⎦
ϕτ τ τ τ
=
−−
⎡
⎤⎡ ⎤
τ− + τ − −
⎣
⎦⎣ ⎦
∫∫
∫∫
uuruur
uuruur
Поэтому
                                           ϕ(τ , τ )d τ d τ
                                     ∫ (τ1 − t11) p2(τ2 1− t22) p
                                                      1                    2
                                                                               =
                                     L

                              ⎡     D( p1 −1, p2 −1) ϕ(τ1 , τ2 )d τ1d τ2
                  1
  = lim                       ⎢
                                           ∫uur                     uur
   η1 →0 ( p1 − 1)!( p2 − 1)! ⎢ ⎡ τ − (t − n η ) ⎤ ⎡ τ − (t − n η ) ⎤
                                                                            +
   η →0
                              ⎣L ⎣ 1 1 1 1 ⎦ ⎣ 2                2     2 2 ⎦
    2

                        D(
                              p1 −1, p2 −1)
                                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                +   ∫ ⎡τ − ( t + nuurη )⎤ ⎡τ − ( t − nrη )⎤ +
                    L⎣ 1      1     1 1 ⎦⎣ 2      2     2 ⎦

                            D(
                                 p1 −1, p2 −1)
                                                  ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
                +   ∫ ⎡τ − ( t − nuurη )⎤ ⎡τ − ( t + nuurη )⎤ +
                    L⎣ 1      1     1 1 ⎦⎣ 2      2     2 2 ⎦

                                                               ⎤
                             D(
                                     p1 −1, p2 −1)
                                       ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2  ⎥.
                +   ∫ ⎡          (
                                  uur
                                       ⎤⎡         )
                                                         uur
                                                              ⎤⎥   (                   )
                                                                                                       (3.2.4)
                    L ⎣ τ1 − t1 + n1η1 ⎦ ⎣ τ2 − t2 + n2 η2 ⎦ ⎦⎥

По формуле Коши
                            ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
          ∫∫⎡             uur                      uur      =
                        (                  )                  (                )
                                    p1                   p2
          L1 L2 τ1 − t1 − n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤
               ⎣                 ⎦ ⎣                   ⎦
                                                   D(
                                                          p1 −1, p2 −1)
               1                                                          ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
    =
      ( p1 − 1)!( p2 − 1)!            ∫ ∫ ⎡τ − ( t − nuurh )⎤ ⎡τ − ( t − nuuuur
                                                                             h  ) ⎤
                                                                                    ;
                                      L L ⎣
                                         1 2
                                            1     1     1 1 ⎦⎣  2     2    2  2   ⎦
                              ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
           ∫∫               uur                      uur      =
                         (                    )                (                   )
                                      p1                   p2
          L1 L2 ⎡ τ1 − t1 + n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤
                ⎣                  ⎦ ⎣                   ⎦
                                                   D(
                                                          p1 −1, p2 −1)
                 1                                           ϕ ( τ1 , τ2 ) d τ1d τ2
    =
        ( p1 − 1)!( p2 − 1)!             ∫∫             uur
                                                        (              )
                                                                               uur
                                            ⎡ τ1 − t1 + n1h1 ⎤ ⎡ τ2 − t2 − n2 h2 ⎤
                                                                                      ;
                                                                                           (       )
                                      L1 L2 ⎣                ⎦⎣                     ⎦



                                                   79

Страницы