Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

77
() ( )
12
12
12
12
12
12
11
11
00
1111 2 222
11
(, )
4
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
Att
tnh t nh
++
−−
==
⎡
⎢
′′
ϕ= ϕ +
⎢
⎡⎤⎡ ⎤
⎢
τ− + τ − +
⎣⎦⎣ ⎦
⎣
∑∑
∫∫
%
uuruur
12 12
1111 2222 1111 2222
11
[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]
pp pp
tnhtnh tnhtnh
+++
τ− + τ − − τ− − τ− +
uuruuruuruur
12
12
12
1111 2 222
1
[ ( )] [ ( )]
N
N
pp
dd R
tnh t nh
⎤
+ττ+
⎥
τ− − τ − −
⎥
⎦
uuruur
, (3.2.2)
где
1
k
t
′
– точка контура
1
L , равноотстоящая от
1
k
t и
1
1k
t
+
;
2
k
t
′
– точка
контура
2
L , равноотстоящая от
2
k
t и
2
1k
t
+
;
1
1
1
1
p
hN
−
= ,
2
1
2
2
p
hN
−
= ;
1
n
uur
– единичная нормаль в направлении вогнутости контура
1
L в
точке
1
k
t
′
, точка
1
11k
tnh
′
−
uur
находится внутри контура
1
L , но не на кон-
туре
1
L ; точка
2
22k
tnh
′
−
uur
находится внутри контура
2
L , но не на кон-
туре
2
L .
Решение модельных примеров показало высокую эффективность
кубатурной формулы (3.2.2). Однако теоретическая оценка погреш-
ности кубатурной формулы (3.2.2) при
12
,2pp> связана с громозд-
кими вычислениями и полученные оценки труднообозримы. Для
простоты ниже ограничимся случаем
12
2.pp
=
=
Теорема 3.2.1. Пусть функция
12
12
(, ) (1)
rr
Wϕτ τ ∈ задана на замк-
нутых гладких контурах
1
L и
2
L значениями
12
(, )
kk
tt
ϕ
%
, причем
12
12
(, ) ( , )
kk
ttϕτ τ −ϕ ≤ε
%
. Погрешность кубатурной формулы (3.2.2)
для вычисления интеграла Адамара (3.2.1) при
1
1
1
1
p
hN
−
=
,
2
1
2
2
p
hN
−
=
определяется неравенством
12
12 1 2
12
ln ln
NN
RAhhhh
hh
⎛⎞
ε
≤+
⎜⎟
⎝⎠
. 
          N −1 N −1               tk1 +1tk2 +1 ⎡
     1 1 2                                        ⎢                     1
Aϕ =       ∑∑    ϕ% (tk′1 , tk′ 2 )   ∫ ∫         ⎢            uur               uur       +
                                                         (       )           (        )
     4 k =0 k =0                                                     p1                 p2
                                      tk1   tk2   ⎢ ⎡τ1 − t1 + n1h1 ⎤ ⎡τ2 − t2 + n2h2 ⎤
                                                  ⎣⎣                ⎦ ⎣               ⎦
           1      2


                         1                                           1
+               uur p                uur      +            uur p                uur        +
    [τ1 − (t1 + n1h1)] 1 [τ2 − (t2 − n2h2 )] 2 [τ1 − (t1 − n1h1)] 1 [τ2 − (t2 + n2h2 )] p2
                                            p


                                     1                        ⎤
          +               uur                    uu
                                                  r           ⎥ d τ1d τ2 + RN1N 2 ,   (3.2.2)
              [τ1 − (t1 − n1h1 )] p1 [τ2 − (t2 − n2 h2 )] p2 ⎥⎦

где tk′1 – точка контура L1 , равноотстоящая от tk1 и tk1 +1 ; tk′ 2 – точка
                                                                             1                1
                                                                         −                −
                                                                             p1               p2
контура L2 , равноотстоящая от tk2 и tk2 +1 ; h1 = N1 , h2 = N 2 ;
uur
n1 – единичная нормаль в направлении вогнутости контура L1 в
                          uur
точке tk′1 , точка tk′1 − n1h1 находится внутри контура L1 , но не на кон-
                         uur
туре L1 ; точка tk′ 2 − n2 h2 находится внутри контура L2 , но не на кон-
туре L2 .
   Решение модельных примеров показало высокую эффективность
кубатурной формулы (3.2.2). Однако теоретическая оценка погреш-
ности кубатурной формулы (3.2.2) при p1 , p2 > 2 связана с громозд-
кими вычислениями и полученные оценки труднообозримы. Для
простоты ниже ограничимся случаем p1 = p2 = 2.
   Теорема 3.2.1. Пусть функция ϕ( τ1 , τ2 ) ∈W r1r2 (1) задана на замк-
нутых гладких контурах L1 и L2 значениями ϕ% (tk1 , tk2 ) , причем
ϕ( τ1 , τ2 ) − ϕ% (tk1 , tk2 ) ≤ ε . Погрешность кубатурной формулы (3.2.2)
                                                                                 1            1
                                                                             −            −
                                                                                 p1           p2
для вычисления интеграла Адамара (3.2.1) при h1 = N1       , h2 = N 2

определяется неравенством RN1N 2 ≤ A ⎜⎛ h1h2 ln h1 ln h2 + ε       ⎞.
                                     ⎝                       h1h2 ⎟⎠


                                                    77

Страницы