Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

76
Оценка снизу получена.
При оценке
N
R
кубатурной формулы повторяем рассуждения,
сделанные в разд.2.2 для квадратурной формулы (2.2.1) , и в итоге
получаем оценку
12 1 2
11
( ( )).
pp r r
N
ROnm n m
−
−− −
=+
Отметим, что подробное доказательство приведено в работе [46].
Из сопоставления оценки снизу и оценки величины погрешности
N
R
следует справедливость теоремы.
3.2. Кубатурные формулы для вычисления
интеграла Адамара на топологическом
произведении двух замкнутых контуров
Рассмотрим интеграл Адамара
()( )
12
12
12 1 2
11 2 2
(, )
,
pp
LL
dd
tt
ϕ
ττ τ τ
τ− τ −
∫∫
(3.2.1)
где
1
L и
2
L замкнутые гладкие контуры на комплексных плоскостях.
Функция
12
(, )ϕτ τ определена на контуре
12
LL L
=
× и имеет произ-
водные до
1
r -го порядка по переменной
1
τ
и
2
r -го порядка по пере-
менной
2
τ
, причем
1212
1212
() ( ) (,)
12 12
max ( , ) 1, max ( , ) 1, max 1,
rr rr
ττττ
ϕ
ττ ≤ ϕ ττ ≤ ϕ ≤
т. е.
12
12
(, ) (1).
rr
Wϕτ τ ∈
Предположим, что функция
12
(, )
ττ задана с погрешностью, т. е.
вместо
12
(, )ϕτ τ задана
12
(, )ϕτ τ
%
такая, что
12 12
max ( , ) ( , ) .
ϕ
ττ −ϕττ ≤ε
%
Проведем разбиение контура
1
L
на
1
N
равных частей точками
1
k
t
и
контура
2
L на
2
N
равных частей точками
2
k
t и построим следую-
щую кубатурную формулу: 
   Оценка снизу получена.
   При оценке RN кубатурной формулы повторяем рассуждения,
сделанные в разд.2.2 для квадратурной формулы (2.2.1) , и в итоге
получаем оценку

                        RN = O(n p1 −1m p2 −1 (n − r1 + m − r2 )).
   Отметим, что подробное доказательство приведено в работе [46].
Из сопоставления оценки снизу и оценки величины погрешности RN
следует справедливость теоремы.

      3.2. Кубатурные формулы для вычисления
        интеграла Адамара на топологическом
        произведении двух замкнутых контуров
    Рассмотрим интеграл Адамара
                           ϕ( τ1 , τ2 )d τ1d τ2
                              ∫ ∫ (τ            p1
                                                     ( τ2 − t2 ) p2
                                                                      ,           (3.2.1)
                             L1 L2   1 − t1 )

где L1 и L2 замкнутые гладкие контуры на комплексных плоскостях.
   Функция ϕ(τ1 , τ2 ) определена на контуре L = L1 × L2 и имеет произ-
водные до r1 -го порядка по переменной τ1 и r2 -го порядка по пере-
менной τ2 , причем max ϕ(τr1) (τ1, τ2 ) ≤ 1,max ϕ(τr2 ) (τ1, τ2 ) ≤ 1,max ϕ(τr1τ,r2 ) ≤ 1,
                          1                        2                         1 2
т. е.
                                                      r1r2
                                 ϕ(τ1 , τ2 ) ∈W              (1).
   Предположим, что функция ϕ(τ1 , τ2 ) задана с погрешностью, т. е.
вместо ϕ(τ1 , τ2 ) задана ϕ% (τ1 , τ2 ) такая, что max ϕ(τ1, τ2 ) − ϕ% (τ1, τ2 ) ≤ ε.
Проведем разбиение контура L1 на N1 равных частей точками tk1 и
контура L2 на N 2 равных частей точками tk2 и построим следую-
щую кубатурную формулу:



                                           76

Страницы