Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 74 стр.

     Усредним интеграл
                    [ n / 2]−1[ m / 2]−1              ⎛ vk −l w j −i
 1 n m                                             1
   ∑∑ ∑
nm k =1 j =1 l =1
                                 ∑ p vl p wi ⎜⎜ ∫ ∫ ϕ * (σ1, σ2 )d σ1d σ2 +
                                 i =1 sin 1   sin 2   ⎜ vk −l −1 w j −i −1
                                            2       2 ⎝
            vk −l w j + i +1                                 vk + l +1 w j −i
       +       ∫        ∫      ϕ * (σ1 , σ2 )d σ1d σ2 +         ∫        ∫       ϕ * (σ1 , σ 2 )d σ1d σ 2 +
           vk −l −1 w j + i                                   vk + l w j −i −1

     vk + l +1 w j + i +1                                ⎞         [ n / 2]−1[ m / 2]−1
                                                         ⎟= 1                                        1
 +      ∫           ∫      ϕ   *   ( σ ,
                                      1 2σ  ) d σ   d
                                                  1 2⎟σ
                                                             nm j =1
                                                                       ∑            ∑            v          wi
                                                                                                               ×
      vk + l       w j +i                                ⎟                         k =1 sin  p 1   l sin p2
                                                         ⎠                                       2          2
                         n m ⎛ vk −l w j −i                              vk −l W j + i +1
                    ×∑∑ ⎜ ∫                   ∫     ϕ * d σ d
                                                           1 2σ      +     ∫ ∫ ϕ * d σ1d σ2 +
                                  ⎜⎜
                       l =1 i =1 vk −l −1 w j −i −1                     vk −l −1 w j + i
                                   ⎝
                          vk + l +1 w j −i                    vk + l +1 w j + i +1               ⎞
                       + ∫                                                                       ⎟
                                       ∫    ϕ *  d σ  d
                                                     1 2σ   +    ∫ ∫               ϕ * d σ1 2⎟=
                                                                                           d σ
                                                                                                 ⎟
                           vk + l w j −i −1                    vk + l w j + i                    ⎠
               4
                      2π 2π                              [ n / 2]−1         1
                                                                                      [ m / 2]−1      1
            =
              nm       ∫ ∫ ϕ * (σ1, σ2 )d σ1d σ2 ∑                               vj      ∑               w
                                                                                                              .
                       0 0                                   j =1     sin   p1          k =1       sin p2 i
                                                                                 2                        2
                                n
                                        1
     Сумма вида                 ∑         v
                                                была оценена в разд. 2.2. Воспользовав-
                                l =1 sin p l
                       2
шись этой оценкой, имеем
                                                 2π 2π
                                 4(1 + o(1))                 ( n / π) p1 ( m / π) p2
max I ϕ *(s1, s2 ) ≥                ∫ ∫ ϕ *(σ1, σ2 )d σ1d σ2 ( p1 − 1) ( p2 − 1)
                     2 p1+ p2 −2 nm 0 0
                                                                                                                  =


    (1 + o(1)) ⎜⎛ 2 K r1 π 2 K r2 π 4 K r1 K r2 π ⎞⎟ 4 ⎛ n ⎞ 1 1 ⎛ m ⎞ 2 1
                                                 2          p             p
=                         +        +                                               .
      p + p2 − 2 ⎜    r1       r2        r1 r2 ⎟ nm ⎝⎜ π ⎠⎟ p − 1 ⎝⎜ π ⎠⎟   p  − 1
    2            ⎝  n       m         n    m       ⎠           1             2




                                                         75