Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

73
Определим функцию
12
*( , )
ϕ
σσ , о которой шла речь выше, фор-
мулой
()
12 11 2 2 112 2
*(,) () () ()()/,Aϕ σσ =ϕσ +ϕ σ +ϕσϕ σ
где
1
11
() (1)
r
Wϕσ∈ – неотрицательная функция, обращающаяся в
нуль в узлах ,1,2,,;
k
x
kn= K
2
22
() (1)
r
Wϕσ∈ – неотрицательная
функция, обращающаяся в нуль в узлах ,1,2,,;
j
yj m
=
K А – кон-
станта, подбираемая из условия, чтобы
12
12
*( , ) (1).
rr
Wϕσσ∈
Отме-
тим, что здесь идет речь о функциях, существование которых дока-
зано в работе В. П. Моторного [31] и для которых выполнены усло-
вия 1, 2. Нетрудно видеть, что константа А существует и что
1/
r
r
AKN≤+ ,
где min( , ).
N
nm=
Разделим сегмент (0,2 )
π
на n и m равных частей точками
2/
k
vkn=π и 2/.
j
wjm=π В результате получим прямоугольники
11
,;, .
kk j j
vv ww
++
⎡⎤
⎣⎦
Возьмем произвольную точку (, )
kj
vw и пред-
ставим интеграл в виде суммы:
12
22
12 1 2
2
1
00
1
*( , ) *( , )
sin sin
22
kj
j
pp
k
Ivw dd
w
v
ππ
ϕ=ϕσσ σσ≥
σ−
σ−
∫∫
12
1
2
[/2]1
12 1 2
2
1
1
0
1
*( , )
sin sin
22
kl
kl
v
n
j
pp
k
i
v
dd
w
v
−
−−
π
−
=
≥ϕσσ σσ+
σ−
σ−
∑
∫∫
[
]
1
12
/2 1
2
12 1 2
2
1
1
0
1
*( , )
sin sin
22
kl
kl
v
n
j
pp
k
l
v
dd
w
v
++
+
−
π
=
+ϕσσ σσ≥
σ−
σ−
∑
∫∫
   Определим функцию ϕ * (σ1 , σ2 ) , о которой шла речь выше, фор-
мулой
                  ϕ * (σ1 , σ2 ) = ( ϕ1 (σ1 ) + ϕ2 (σ 2 ) + ϕ1 (σ1 )ϕ2 (σ 2 ) ) / A,

где ϕ1 (σ1 ) ∈W r1 (1) – неотрицательная функция, обращающаяся в
нуль в узлах xk , k = 1, 2,K , n; ϕ2 (σ2 ) ∈W r2 (1) – неотрицательная
функция, обращающаяся в нуль в узлах y j , j = 1, 2,K , m; А – кон-
станта, подбираемая из условия, чтобы ϕ * (σ1 , σ2 ) ∈W r1r2 (1). Отме-
тим, что здесь идет речь о функциях, существование которых дока-
зано в работе В. П. Моторного [31] и для которых выполнены усло-
вия 1, 2. Нетрудно видеть, что константа А существует и что

                                         A ≤ 1 + Kr / N r ,
где N = min(n, m).
   Разделим сегмент (0, 2π) на n и m равных частей точками
vk = 2k π / n и w j = 2 j π / m. В результате получим прямоугольники
⎡vk , vk +1; w j , w j +1 ⎤ . Возьмем произвольную точку (vk , w j ) и пред-
⎣                         ⎦
ставим интеграл в виде суммы:
                         2π 2π
                                                                      1
  I ϕ * (vk , w j ) =     ∫ ∫ ϕ * (σ1, σ2 )            p1   σ1 − vk        σ2 − w j
                                                                                      d σ1d σ 2 ≥
                          0 0                 sin                   sin p2
                                                               2              2
        [ n / 2]−1 vk −l 2 π
                                                                  1
    ≥      ∑ ∫ ∫ ϕ * (σ1, σ2 )                    p1   σ1 − vk        σ2 − w j
                                                                                  d σ1d σ2 +
           i =1 vk −l −1 0                  sin                sin p2
                                                          2              2
        [ n / 2]−1 vk +l +1 2π
                                                                 1
    +     ∑ ∫ ∫ ϕ * (σ1, σ2 )                     p1   σ1 − vk        σ2 − w j
                                                                                  d σ1d σ2 ≥
           l =1     vk + l 0                sin                sin p2
                                                          2              2



                                                  73

Страницы