Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 70 стр.

                                      Глава 3
    Кубатурные формулы для вычисления
        двойных интегралов Адамара
     3.1. Оптимальные кубатурные формулы
  для вычисления двойных интегралов Адамара
            от периодических функций
   Рассмотрим двойной интеграл Адамара вида
                                   2π 2π
                                           ϕ(σ1 , σ2 )d σ1d σ2
                           Iϕ =    ∫∫     p σ1 − s1        σ −s
                                                                                 (3.1.1)
                                   0 0 sin 1        sin p2 2 2
                                               2               2
( p1 , p2 – четные числа), для вычисления которого применим куба-
турную формулу
                n m
        Iϕ =   ∑∑ pki (s1, s2 )ϕ( xk , yi ) + Rmn (s1, s2 ,xk , yl , pkl , ϕ),   (3.1.2)
               k =1 i =1

определяемую вектором ( X , Y ; P ) с произвольными узлами
           0 ≤ x1 < x2 < K < xn ≤ 2π; 0 ≤ y1 < y2 < K < ym ≤ 2π

и коэффициентами pkl . Положим, ϕ(σ1 , σ2 ) ∈W r1r2 (1) .

    Теорема 3.1.1. Пусть Μ = W r1r2 (1) и интеграл (3.1.1) вычисляется
по кубатурной формуле (3.1.2). Тогда
                                            p       p ⎛                         2⎞
                     4(1 + o(1))       ⎛ n ⎞ 1 ⎛ m ⎞ 2 ⎜ 2Kr1π 2Kr2 π 4Kr1 Kr2 π ⎟
ξnm[Μ] ≥                               ⎜ ⎟ ⎜ ⎟                +      +             .
         nm( p1 −1)( p2 −1)2 p1+ p2 −2 ⎝ π ⎠ ⎝ π ⎠ ⎜⎝ nr1       mr2    nr1mr2 ⎟⎠


Среди всевозможных кубатурных формул, использующих подынте-
гральную функцию в N = nm узлах, оптимальной по порядку являет-
ся кубатурная формула

                                           71