Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

72
12
22
12 1 2
11 2 2
00
[( , )]
sin sin
22
nm
N
pp
sdd
IR
ss
ππ
σσ σ σ
ϕ= +
σ− σ −
∫∫
,
12
[] [ []]
nm n m
sss
σ
σ
ϕ
=ϕ, (3.1.3)
где
1
[]
r
n
s
Cϕ∈
2
([] )
r
v
s
Cϕ∈ – интерполяционный сплайн порядка
12
()rr
по равномерному разбиению
22
,0,1,,,( ,
rk
kk
vknw
nm
π
π
== =
K
0,1, , )km=
K .
Погрешность кубатурной формулы определяется неравенством
12 1 2
11
(())
pp r r
N
ROnm n m
−
−− −
=+.
Доказательство
. Вначале получим оценку снизу погрешности ку-
батурной формулы (3.1.2) на классе
12
(1)
rr
W на произвольном векто-
ре (,;)
X
YP узлов и весов.
Обозначим через
12
(, )
∗
ϕσσ функцию, удовлетворяющую сле-
дующим условиям:
1)
12
(, )
∗
ϕσσ
12
(1)
rr
W∈
;
2)
12
min ( , ) ( , ) 0, ( 1, 2, , ; 1, 2, , );
kj
yk nj m
∗∗
ϕσσ =ϕ = = =KK
3)
1212
1212
2
22
12 1 2
00
22 4
(, ) .
rr rr
rr rr
KK KKn
dd
nm nm
ππ
∗
ππ
ϕσσ σσ≥ + +
∫∫
Покажем, что такая функция существует. В работе В. П. Мотор-
ного [31] показано, что на любом множестве узлов ,1,2,,,
k
s
kN
=
K
существует неотрицательная функция
() (1),
r
tWϕ=
удовлетворяю-
щая двум условиям:
1) ()0, 1,2,,;
k
s
kNϕ==K
2)
2
0
() .
r
r
K
tdt
n
π
ϕ≥
∫
        2π 2π
                snm [(σ1 , σ2 )]d σ1d σ2
Iϕ =     ∫∫                                 + RN , snm [ϕ] = snσ1 [ sm
                                                                     σ2
                                                                        [ϕ]] , (3.1.3)
                 p1 σ1 − s1     p2 σ 2 − s2
         0 0 sin            sin
                       2               2
где sn [ϕ] ∈ C r1 ( sv [ϕ] ∈ C r2 ) – интерполяционный сплайн порядка r1(r2 )
                                               2k π                           2k π
по равномерному разбиению vr =                      , k = 0, 1, K , n, ( wk =      ,
                                                n                              m
k = 0,1,K , m) .
   Погрешность кубатурной формулы определяется неравенством

                          RN = O(n p1 −1m p2 −1 (n − r1 + m − r2 )) .
    Доказательство. Вначале получим оценку снизу погрешности ку-
батурной формулы (3.1.2) на классе W r1r2 (1) на произвольном векто-
ре ( X , Y ; P ) узлов и весов.

  Обозначим через ϕ∗ (σ1 , σ2 ) функцию, удовлетворяющую сле-
дующим условиям:

   1) ϕ∗ (σ1 , σ2 ) ∈W r1r2 (1) ;

   2) min ϕ∗ (σ1 , σ2 ) = ϕ∗ ( xk , y j ) = 0, (k = 1, 2,K , n; j = 1, 2,K , m);

         2π 2π                           2 K r1 π       2 K r2 π       4 K r1 K r2 n 2
                 ∗
   3)    ∫ ∫ ϕ (σ1, σ2 )d σ1d σ2 ≥         n r1
                                                    +
                                                         mr2
                                                                   +
                                                                          n r1 m r2
                                                                                         .
         0 0

   Покажем, что такая функция существует. В работе В. П. Мотор-
ного [31] показано, что на любом множестве узлов sk , k = 1, 2,K , N ,
существует неотрицательная функция ϕ(t ) = W r (1), удовлетворяю-
щая двум условиям:
  1) ϕ( sk ) = 0, k = 1, 2,K , N ;
         2π
                      K
    2)    ∫ ϕ(t )dt ≥ nrr .
          0



                                             72

Страницы