Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

69
()
()
()
22
1
22
2
,222
2
22
1
33
,33
3
1
33
21
30
21
1
,,,1,0,1,,,0,1,,,ln,
при 0, при 0;
1
, , , 1,0,1, , , 0,1, , ,
, при 0,
ln
kl k
k
kk
k
k
kl k
k
k
k
tkA AlNAN
N
NN
NkN k
e
e
tk kA Al N
N
NN
ANkNN
N
k
−
α−
α−
⎡
⎤
+
==−− = =
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡⎤
⎡⎤
=≥= <
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
=+ =− − =
⎡⎤
⎡⎤
==≠=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
KK K
KK K
;
,,1
,
,0.
2
kl kl
kl
tt
t
+
+
=
α>
Теорема 2.6.1. Пусть
() ( )
1, , 1, 2, 3.
i
r
WKi
ρ
ϕτ∈ = Квадратурная
формула
()
()
()
() ()
1
1
0
111
,
2
k
k
t
N
kN
ppp
k
t
d
tdR
t
tih tih
+
∞
−
=
−∞
⎡⎤
⎛⎞
ϕτ τ
⎢⎥
⎜⎟
′
=ϕ + τ+
⎢⎥
⎜⎟
τ−
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎝⎠
⎣⎦
∑
∫∫
(2.6.2)
предназначенная для вычисления интеграла Адамара (2.6.1), имеет
погрешность
1
.
p
N
RON
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство
. Оценка погрешности квадратурной формулы (2.6.2)
проводится по формуле
()
()
()
()
()
()
()
() ()
1
1
123
0
111
.
2
k
k
AA
N
pp p
AA
t
N
k
pp
k
t
dd d
R
tt t
tdrrr
tih tih
+
−∞
−∞ −
−
=
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ
≤++−
τ− τ− τ−
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
′
−ϕ + τ=++
⎢⎥
⎜⎟
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎝⎠
⎣⎦
∫∫∫
∑
∫
                                                                        ⎡        1 ⎤
tk2,l = k + 1 2 , k = − A2 ,K , −1,0,1,K , A2 , l = 0,1,K , N k2 , A2 = ⎢( ln N ) 2 ⎥ ,
             Nk                                                         ⎣           ⎦
                      ⎡       ⎤                    ⎡           ⎤
               N k2 = ⎢ N k 2 ⎥ при k ≥ 0, N k2 = ⎢ N        2 ⎥ при k < 0;

                      ⎣ e ⎦                       ⎢⎣ e( k −1) ⎥⎦
           tk3,l = k + 1 3 , k = − A3 ,K , −1,0,1,K , A3 , l = 0,1,K , N k3 ,
                          Nk
               ⎡        1
                          2α−1 ⎤ ,
          A3 = ⎢ N
               ⎣⎢
                  (ln N      ) ⎥
                               ⎦⎥
                                                N k3 = ⎡⎢ N 2α−1 ⎤⎥ при k ≠ 0, N 03 = N ;
                                                        ⎣ k       ⎦

                                            tk ,l + tk ,l +1
                                  tk ,l =                        , α > 0.
                                                    2
     Теорема 2.6.1. Пусть ϕ ( τ ) ∈ Wρr (1, K ) , i = 1, 2,3. Квадратурная
                                                             i

формула
 ∞                             ⎡tk +1 ⎛                                          ⎞ ⎤
   ϕ( τ) d τ 1 N −1                              1                     1
 ∫            =
             p 2      ∑
                      ϕ( tk′ ) ⎢
                               ⎢   ∫  ⎜
                                      ⎜                   p
                                                            +                    ⎟ d τ⎥ + R , (2.6.2)
                                                                                p⎟ ⎥       N
−∞ ( τ − t )     k =0          ⎣⎢ k ⎝ ⎣
                                  t     ⎡τ − ( t − ih ) ⎤
                                                        ⎦ ⎣   ⎡τ − ( t + ih ) ⎤
                                                                              ⎦ ⎠ ⎦⎥
предназначенная для вычисления интеграла Адамара (2.6.1), имеет
                     ⎛ −1 ⎞
погрешность RN ≤ O ⎜ N p ⎟ .
                     ⎜      ⎟
                     ⎝      ⎠
   Доказательство. Оценка погрешности квадратурной формулы (2.6.2)
проводится по формуле
                      −A                    ∞                      A
                           ϕ( τ) d τ            ϕ ( τ) d τ             ϕ( τ) d τ
             RN ≤      ∫           p
                                     + ∫
                                                 p
                                                             +     ∫ (τ − t ) p −
                      −∞ ( τ − t )     A (τ − t)                  −A

      N −1            ⎡tk +1 ⎛                                               ⎞ ⎤
    1                                  1                     1
−     ∑    ϕ ( tk′ ) ⎢ ⎜
                     ⎢∫      ⎜                   p
                                                   +
                                                                      p
                                                                             ⎟ d τ⎥ = r + r + r .
                                                                             ⎟ ⎥ 1 2 3
                               ⎣ − ( t − ih ) ⎤⎦     ⎣ − ( t + ih )⎤⎦
    2 k =0
                     ⎢⎣ tk ⎝ ⎡τ                      ⎡τ                      ⎠ ⎥⎦



                                                    69

Страницы