Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

68
2.6. Эффективный метод вычисления
интегралов Адамара на бесконечном интервале
Будем вычислять интегралы вида
()
()
p
d
t
∞
−∞
ϕ
ττ
τ−
∫
(2.6.1)
в предположении, что ()ϕτ представима в виде
(
)
(
)
(
)
,tttϕ=ρψ
где
()
tρ – весовая функция.
В качестве весовых функций используются функции
() () ()
()
2
123
2
1
,, .
1
t
t
ta te t
t
−
−
α
ρ= ρ = ρ=
+
Через
()
1,
r
WK
обозначим класс функций ()
ϕ
τ , определенных на
числовой оси, имеющих непрерывные производные до
(
)
1r
−
-го по-
рядка включительно, кусочно-непрерывные производные
r
-го по-
рядка и удовлетворяющих условиям
() () ()
()
()
1
()
max 1, max , , , .
r
r
ttttK
−⎛⎞
′
ϕ≤ ϕϕ ϕ ≤
⎜⎟
⎝⎠
K
Будем говорить, что
() ( )
1,
r
tW K
ρ
ϕ∈ , если
(
)
(
)
(
)
tttϕ=ρψ,
где
(
tρ – весовая функция, а
() ( )
1, .
r
tW Kψ∈
Введем обозначения:
N – целое число;
[
]
1
,111
1
1
, , , 1,0,1, , , 0,1, , , log ,
kl k a
k
tk kA Al NA N
N
′
=+ =− − = =KK K
1
11
1
при 0,1, , , при ,,1;
l
kk
k
k
NN
NkAN kA
a
a
−
⎡⎤
⎡⎤
== = =−−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
KK 
      2.6. Эффективный метод вычисления
 интегралов Адамара на бесконечном интервале
   Будем вычислять интегралы вида
                                         ∞
                                              ϕ ( τ) d τ
                                          ∫ (τ − t ) p                                    (2.6.1)
                                         −∞

в предположении, что ϕ( τ) представима в виде

                                       ϕ(t ) = ρ (t ) ψ (t ) ,

где ρ ( t ) – весовая функция.

   В качестве весовых функций используются функции
                              −t                                          1
               ρ1 ( t ) = a        , ρ 2 ( t ) = e − t , ρ3 ( t ) =
                                                      2
                                                                                      .
                                                                      (       )
                                                                                  α
                                                                      1+ t2

   Через W r (1, K ) обозначим класс функций ϕ( τ) , определенных на
числовой оси, имеющих непрерывные производные до ( r − 1) -го по-
рядка включительно, кусочно-непрерывные производные r -го по-
рядка и удовлетворяющих условиям

          max ϕ( r ) ( t ) ≤ 1, max ⎜ ϕ ( t ) , ϕ′ ( t ) ,K , ϕ( ) ( t ) ⎟ ≤ K .
                                    ⎛                           r −1     ⎞
                                    ⎝                                    ⎠

   Будем говорить, что ϕ ( t ) ∈Wρr (1, K ) , если ϕ ( t ) = ρ ( t ) ψ ( t ) ,
где ρ ( t ) – весовая функция, а ψ ( t ) ∈W r (1, K ) .
   Введем обозначения: N – целое число;

tk′ ,l = k + 1 1 , k = − A1 ,K , −1,0,1,K , A1 , l = 0,1,K , N 1k , A1 = [ log a N ] ,
              Nk

       ⎡     ⎤                                        ⎡        ⎤
N 1k = ⎢ N k ⎥ при k = 0,1,K , A1 ,            N kl = ⎢ N k −1 ⎥ при k = − A1 ,K , −1;
       ⎣ a ⎦                                          ⎣ a      ⎦


                                                 68

Страницы