Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

66
()
()
()
()
()
()
()
()
()
111
1
222
3! 1
1;
1! 2
(1 ) (1 ) (1 )
ppp
kkk
kk k
ttt
rOh
p
ttihtih
−−−
⎡⎤
′′
ϕϕϕ
⎢⎥
′′
−= − + =
−
⎢⎥
−− −− − −− +
⎣⎦
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
()
()
() () ()
()
(1)
1
111
11
1.
12
(1 ) (1 ) (1 )
pkkk
ppp
kk k
ttt
rOh
p
ttihtih
−
−−−
⎡⎤
′′
ϕϕϕ
−= − + =
⎢⎥
−
−− −− − −− +
⎢⎥
⎣⎦
Легко показать, что
()
()
()
()
()
()
()
11
111
0
1
11
1
.
2
ppp
d
rdOh
ttihtih
−−−
−−
⎡⎤
ϕττ ϕτϕτ
⎢⎥
=−+τ=
τ− τ− − τ− +
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
Следовательно,
(
)
1
.rOh=
Слагаемые
4
r и
5
r оцениваются по аналогии с соответствующими
выражениями из разд. 2.4. Повторяя сделанные там выкладки, имеем
5
1
.
p
A
r
h
−
ε
≤
Слагаемые
24
rr−
оцениваются одинаково. Поэтому ограничимся
рассмотрением суммы
2
r при
)
1
,
jj
ttt
=
⎡
∈
⎣
:
()
()
()
()
1
2
1
2
22
00
2
2
2
1
1
221
1
2
2
2
1
1111
2
44
11 11
.
4
k
k
t
j
N
k
ppp
kk
t
kj
N
ppp
kj
kj
t
rd
NNh
tih
tt h
A
NNhNh
tt h
+
−
−
==
+
−
−
=+
+
′
ϕτ−ϕ
=τ≤ ++
τ− +
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
+≤+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
∫
∑
                         ( p−1) t      ⎡ ( p−1) ( t ′ )    ϕ( ) ( tk′ ) ⎤
                                                             p −1
                 3! ϕ          (  k) 1⎢ ϕ
   r1′′( −1) =                      −               k
                                                        +                 ⎥ = O ( h) ;
              ( p − 1)! (−1 − tk )2 2 ⎢⎣ (−1 − tk − ih)2 (−1 − tk + ih)2 ⎥⎦

                               .................................

                        1       ϕ( tk )    1⎡       ϕ( tk′ )          ϕ( tk′ )       ⎤
r1( p−1)( −1) =                           − ⎢                    +                   ⎥ = O ( h) .
                     ( p −1) (−1− tk ) p−1 2 ⎢⎣ (−1− tk − ih) p−1 (−1− tk + ih) p−1 ⎥⎦
   Легко показать, что

                         ϕ(
                              p −1)
                     1
                                      ( τ ) d τ − 1 1 ⎡⎢ ϕ( p −1) ( τ ) + ϕ( p−1) ( τ ) ⎤⎥ d τ = O
       r10   =       ∫                               ∫ ⎢ τ − t − ih                                  ( h ).
                                τ−t              2                         τ − t + ih ⎥
                 −1                                  −1 ⎣                             ⎦

   Следовательно, r1 = O ( h ) .
   Слагаемые r4 и r5 оцениваются по аналогии с соответствующими
выражениями из разд. 2.4. Повторяя сделанные там выкладки, имеем
r5 ≤ Aε p −1 .
       h
   Слагаемые r2 − r4 оцениваются одинаково. Поэтому ограничимся
рассмотрением суммы r2 при t ∈ ⎡⎣t j , t j =1 :                        )
            tk +1
     1 N −1       ϕ( τ) − ϕ ( tk′ )       1
                                              j −2
                                                                1              1
r2 =     ∑∫
     2 k =0        τ − t + ih
                                p
                                    dτ ≤
                                            2
                                         4N k =0
                                                             ∑         p
                                                                           +
                                                                             4N 2h p
                                                                                     +
                                                   ⎛
                                                                   (2⎞
                                                                               )
             tk                                                  2       2
                                                   ⎜ tk +1 − t j + h ⎟
                                                   ⎝                 ⎠
                         N −1
                 1                               1 ⎛ 1         1 ⎞
        +
                     2
             4 N k = j +1
                         ∑                      ≤ A⎜
                                                   ⎝ N 2 p
                                                        h
                                                           +
                                                            p
                                                             Nh p−1 ⎟
                                                                    ⎠
                                                                      .
                          ⎛
                                      (    2⎞ 2
                                                 )
                                       2
                          ⎜ tk − t j +1 + h ⎟
                          ⎝                 ⎠




                                                            66

Страницы