Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

65
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11 1
11 1
1
1
0
1
11
22
1
2
k
k
ppp
t
N
k
pp
k
t
dd d
ttihtih
d
d
t
tih
tih
−− −
−
=
−
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ
≤
−− +
τ− τ− + τ− −
ϕτ τ
τ
′
+−ϕ +
τ− +
⎡τ− + ⎤
⎣⎦
∫∫ ∫
∑
∫∫
%
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
1
0
1
11 1
11 1
1
2
11
22
k
k
t
N
k
pp
k
t
ppp
d
d
t
tih
tih
dd d
ttihtih
−
=
−
−− −
ϕτ τ
τ
′
+−ϕ ≤
τ− −
⎡τ− − ⎤
⎣⎦
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ
≤
−− +
τ− τ− + τ− −
∑
∫∫
∫∫ ∫
%
()
()
()
()
()
()
11
11
00
11
22
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
tt
dd
tih tih
++
−−
==
′′
ϕτ−ϕ ϕτ−ϕ
+τ+τ+
τ− + τ− −
∑∑
∫∫
()
()
()
()
()
()
11
11
00
11
22
kk
kk
tt
NN
kk
pp
kk
tt
tt
dd
tih tih
++
−−
==
′′
ϕτ−ϕ ϕτ−ϕ
+
τ+ τ=
τ− + τ− −
∑∑
∫∫
%%
12345
.rr rr r
=
++++
Оценим каждое слагаемое в отдельности. Из формул (2.5.4)– (2.5.6)
следует, что
( ) () ( ) () ( ) ()
(1) (1)
0
11 1 1 1 1
11
11 1 1 1 1
pp
rr r r r r r r
−−
′ ′ ′′ ′′
=+ −+ + −+ ++ −+K
,
где
()
()
()
()
()
()
()
()
11 1
11 1
0
1
11 1
111
;
1! 2 2
pp p
dd d
rOh
pttihtih
−− −
−− −
⎡⎤
ϕττϕττ ϕττ
⎢⎥
=−−=
−τ− τ−+ τ−−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫ ∫
()
()
()
()
()
()
()
()
()
111
1
2! 1
1;
1! 1 2 1 1
ppp
kkk
kkk
ttt
rOh
pt tihtih
−−−
⎡⎤
′′
ϕϕϕ
⎢⎥
′
−= − + =
−−− −−−−−+
⎢⎥
⎣⎦
                        1                         1                                         1
                            ϕ( τ) d τ         1            ϕ ( τ) d τ                   1         ϕ( τ) d τ
                ≤       ∫ (τ − t ) p      −
                                              2   ∫ ( τ − t + ih ) p               −
                                                                                        2   ∫ ( τ − t − ih ) p         +
                    −1                            −1                                        −1
                                1                                                  tk
                      1                ϕ ( τ) d τ             N −1
                                                                                                  dτ
                    +
                      2         ∫ ( τ − t + ih ) p − ∑ ϕ% ( tk′ ) ∫ ⎡τ − ( t + ih )⎤ p                             +
                                −1                            k =0                 tk   ⎣                  ⎦
                            1                                                 tk
                    1                ϕ( τ) d τ            N −1
                                                                                                 dτ
               +
                    2       ∫ ( τ − t − ih ) p ∑      −          ϕ% ( tk′ )   ∫ ⎡τ − ( t − ih )⎤ p             ≤
                         −1                               k =0                tk   ⎣                   ⎦
                        1                         1                                         1
                            ϕ( τ) d τ         1            ϕ ( τ) d τ                   1         ϕ( τ) d τ
                ≤       ∫ ( τ − t ) p − 2 ∫ ( τ − t + ih ) p − 2 ∫ ( τ − t − ih ) p                                    +
                    −1                            −1                                        −1

                            t                                                       t
              1             ( ) ( k)
                N −1 k +1 ϕ τ − ϕ t ′
                                                1             ( ) ( k)
                                                  N −1 k +1 ϕ τ − ϕ t ′
            +      ∑∫                    p
                                           dτ +                           ∑∫
                                                                           p
                                                                             dτ +
              2 k =0
                     tk   ( τ − t + ih )        2 k =0
                                                       tk   ( τ − t − ih )

                   N −1tk +1 ϕ τ − ϕ                 N −1tk +1 ϕ τ − ϕ
                 1             ( ) % ( tk′ )       1             ( ) % ( tk′ )
               +        ∑∫                  p
                                              dτ +                       ∑∫   p
                                                                                dτ =
                 2 k =0
                        tk   ( τ − t + ih )        2 k =0
                                                          tk   ( τ − t − ih )
                                              = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 .
    Оценим каждое слагаемое в отдельности. Из формул (2.5.4)– (2.5.6)
следует, что r1= r10 + r1′( −1)+ r1′ (1)+ r1′′( −1) + r1′′(1) +K + r1( p−1)( −1)+ r1( p−1) (1) ,
где
                     1 ( p −1)
            1 ⎡ ϕ              ( τ ) d τ 1 1 ϕ( p−1) ( τ ) d τ 1 1 ϕ( p −1) ( τ ) d τ ⎤⎥
r10 =              ⎢
                    ∫                   −                 ∫   −                         = O ( h); ∫
        ( p − 1)! ⎢⎣ −1 τ − t             2
                                            −1
                                               τ − t + ih       2
                                                                  −1
                                                                     τ − t − ih ⎥
                                                                                       ⎦
                          ( p −1) t        ⎡ ( p −1) ( t ′ ) ϕ( p −1) ( t ′ ) ⎤
                   2! ϕ          (  k ) 1 ⎢ϕ
    r1′ ( −1) =                        −                k
                                                            +            k ⎥
                                                                                = O ( h);
                ( p − 1)! −1 − tk        2 ⎢ −1 − tk − ih −1 − tk + ih ⎥
                                           ⎣                                  ⎦



                                                                 65

Страницы