Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 66 стр.

   Оценка сумм, встречающихся в предыдущем выражении, прово-
дилась следующим образом:
            j −2                                                        j −2
      1                           1                                                               1
        2
      N k =0
            ∑                                      p
                                                           =N p − 2     ∑                                        p
                                                                                                                         =
                                                                        k =0 ⎡
              ⎡
                   (              )
                               2⎤ 2                                                                 2 2⎤
                           2                                                                      2                  2
             ⎢⎣ tk +1 − t j + h ⎥⎦                                               ⎢⎣( k + 1 − j ) + N h ⎥⎦

                                           j −2
                                                                         1
                            = N p −2       ∑'                                             p
                                                                                                  +
                                           k =0    ⎡( k + 1 − j ) + N 2 h 2 ⎤
                                                                        2                     2
                                                   ⎢⎣                       ⎥⎦
                                  j −2
                                                                 1
                       +N   p−2
                                  ∑"                                                p
                                                                                          = r21 + r22 ,
                                  k =0     ⎡( k + 1 − j ) 2 + N 2 h 2 ⎤ 2
                                           ⎣⎢                         ⎦⎥
где Σ′ означает суммирование по таким k , что j − k < Nh, а Σ′′ оз-
начает суммирование по остальным значениям k . Очевидно,
                                                            j
                                                                            1           A 1− p
                            r21 ≤ AN p − 2                 ∑             p p
                                                                                   ≤
                                                                                        N
                                                                                          h ;
                                                    k = j −[ Nh ] N          h

                                      j −[ Nh ]
                                                       1                                              Ah1− p
              r22 ≤ AN p −2            ∑                         ≤ AN p − 2 ( Nh )
                                                                                          1− p
                                                                                                  =          .
                                       k =0       ( j − k)p                                             N

      Собирая полученные оценки, имеем

             (                                                          ). Полагая h = N
                                                                                                       −1
RN ≤ A h + N −2 h − p + N −1h1− p + ε               p
                                                      , получа-  p −1
                              h
                               ⎛ −1      1− 1 ⎞
ем окончательную оценку RN ≤ A ⎜ N p + εN p ⎟ . Теорема доказа-
                               ⎝              ⎠
на.




                                                                67