Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

64
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11
111
11
11
11!
1! 1! 1 1
ppp
p
d
d
ptihp tihtih
tih
−−−
−−
⎧
⎫
ϕτ τ ϕ τ ϕ − ϕ
⎪
⎪
=τ+−+
⎨
⎬
− τ−− − −−− −−
τ− −
⎪
⎪
⎩⎭
∫∫
()
(
)
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
22
22
33
22
11 4!
2!
1! 1!
11
13!
(1)
1!
11
11
1
1
11
pp
pp
pp
p
pp
tih tih
p
p
tih tih
p
tih tih
−−
−−
−−
⎧⎫
ϕ−ϕ −
⎪⎪
+−++×
⎨⎬
−−
−−− −−
⎪⎪
⎩⎭
⎧⎫
′′
ϕ− −
′′
ϕ
⎪⎪
×−+×
⎨⎬
−
−−− −−
⎪⎪
⎩⎭
⎧⎫
′′
ϕ− ϕ
⎪⎪
×−+×
⎨⎬
−
−−− −−
⎪⎪
⎩⎭
K
()
()
()
11
1
(1)
.
11
pp
tih tih
−−
⎧⎫
ϕ−
ϕ
⎪⎪
×−
⎨⎬
−−− −−
⎪⎪
⎩⎭
(2.5.6)
Погрешность квадратурной формулы (2.5.2) оценивается неравен-
ством
()
()
()
() ()
1
1
1
0
1
111
2
k
k
t
N
Nk
ppp
k
t
d
Rt d
t
tih tih
+
−
=
−
⎡
⎤
⎛⎞
ϕτ τ
⎢
⎥
⎜⎟
′
≤−ϕ + τ≤
⎢
⎥
⎜⎟
τ−
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
⎝⎠
⎣
⎦
∑
∫∫
%
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11 1
11 1
11
11
11
22
1
2
ppp
pp
dd d
ttihtih
dd
tih tih
−− −
−−
ϕτ τ ϕτ τ ϕτ τ
≤
−− +
τ− τ− + τ− −
ϕτ τ ϕτ τ
++−
τ− + τ− −
∫∫ ∫
∫∫
()
() ()
1
1
0
11
k
k
t
N
k
pp
k
t
td
tih tih
+
−
=
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
′
−ϕ + τ≤
⎢⎥
⎜⎟
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎝⎠
⎣⎦
∑
∫
%
                                              ϕ(
                                                   p−1)              ( p−1) ( −1) ϕ( p−1) (1) ⎫
                                                          1! ⎧⎪ ϕ
1                                         1
       ϕ ( τ) d τ         1                               ( τ)                                ⎪
∫    ( τ − t − ih )
                     =
                    p ( p − 1)!           ∫
                                       τ − t − ih
                                                  d τ+           ⎨               −
                                                       ( p − 1)! ⎪⎩ −1 − t − ih 1 − t − ih ⎭⎪
                                                                                              ⎬+
−1                                 −1
                                 ( p −2 ) ( −1)   ϕ(
                                                     p−2)
                    2! ⎧⎪ ϕ                                (1) ⎫⎪ + K + ( p − 4 )! ×
               +            ⎨                   −               ⎬
                 ( p − 1)! ⎩⎪ ( −1 − t − ih )2 (1 − t − ih )2 ⎭⎪           ( p − 1)!
                   ⎧⎪         ϕ′′ ( −1)                ϕ′′(1)        ⎫⎪ ( p − 3)!
                  ×⎨                           −                      ⎬+          ×
                    ⎪⎩ ( −1 − t − ih )
                                         p −3
                                                 (1 − t − ih ) p −3 ⎪⎭ ( p − 1)!
                      ⎧⎪       ϕ′ ( −1)                 ϕ′ (1)         ⎫⎪   1
                  ×⎨                            −                       ⎬ +       ×
                       ⎪⎩ ( −1 − t − ih )
                                          p −2
                                                  (1 − t − ih ) p −2 ⎪⎭ ( p − 1)
                               ⎪⎧       ϕ ( −1)                ϕ(1)          ⎪⎫
                              ×⎨                       −                     ⎬.                          (2.5.6)
                                                  p −1
                               ⎩⎪ ( −1 − t − ih )        (1 − t − ih ) p −1 ⎭⎪
   Погрешность квадратурной формулы (2.5.2) оценивается неравен-
ством
           1                           ⎡tk +1 ⎛                                                          ⎞ ⎤
               ϕ ( τ) d τ
                     1
                       N −1
                                                       1                     1
RN ≤       ∫       −
                  p 2              ∑
                            ϕ% ( tk′ ) ⎢ ⎜
                                       ⎢ ⎜                ∫      p
                                                                   +
                                                                                       p
                                                                                                         ⎟ d τ⎥ ≤
                                                                                                         ⎟ ⎥
     −1 ( τ − t )      k =0            ⎣⎢ tk ⎝ ⎣ (
                                                ⎡τ − t − ih ) ⎤⎦     ⎣ − ( t + ih ) ⎤⎦
                                                                     ⎡τ                                  ⎠ ⎦⎥
                     1                             1                            1
                          ϕ( τ) d τ           1           ϕ ( τ) d τ        1        ϕ( τ) d τ
                 ≤   ∫ (τ − t ) p         −
                                              2    ∫ ( τ − t + ih ) p   −
                                                                            2   ∫ ( τ − t − ih ) p   +
                     −1                           −1                            −1
                                  1                               1
                              1           ϕ ( τ) d τ                    ϕ ( τ) d τ
                          +
                              2   ∫ ( τ − t + ih ) p + ∫ ( τ − t − ih ) p −
                                  −1                              −1

                 N −1          ⎡tk +1 ⎛                                                       ⎞ ⎤
                                               1                     1
               − ∑    ϕ ( tk ) ⎢ ⎜
                      %    ′
                               ⎢ ⎜    ∫                  p
                                                           +
                                                                               p
                                                                                              ⎟ d τ⎥ ≤
                                                                                              ⎟ ⎥
                               ⎣⎢ tk ⎝ ⎣ (
                 k =0                   ⎡τ − t − ih ) ⎤⎦     ⎣ − ( t + ih ) ⎤⎦
                                                             ⎡τ                               ⎠ ⎦⎥




                                                                 64

Страницы