Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

62
() ()
1
1
0
111
() ,
2
k
k
t
N
j
N
pp
k
t
tdR
tih tih
+
−
=
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
′
+ϕ + τ+
⎢⎥
⎜⎟
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎝⎠
⎣⎦
∑
∫
%
(2.5.2)
где
2
1,0,1,,1.
k
k
tkN
N
=− + = −K Сумма
1
0
N
k
−
=
∑
означает, что сумми-
рование проводится при
()
1
1
1, , 1; , .
2
p
kk
k
tt
kj jj t hN
−
+
+
′
≠− + = =
Особая точка t находится внутри интервала
[
]
1,1 ,
−
+δ −δ где .hδ>>
Теорема 2.5.1. Пусть
()
(1)
r
Wϕτ∈ и () () .
ϕ
τ−ϕτ ≤ε
%
Для интегра-
ла Адамара (2.5.1) квадратурная формула (2.5.2) при
1
()
p
hON
−
=
имеет погрешность
11
1
.
pp
N
RAN N
−
−
⎛⎞
≤+ε
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство.
Представим интеграл Адамара (2.5.1) в виде сум-
мы интегралов
() () () ()
11
0
11
() () () ()
lim .
tt
p ppp
tt
dddd
tttt
−η +η
η→
−−+η−η
⎡⎤
ϕ
ττ ϕττ ϕττ ϕττ
⎢⎥
=++
⎢⎥
τ− τ− τ− τ−
⎣⎦
∫∫∫∫
Из определения интеграла Адамара следует, что
()
()
(1)
() 1 ()
1!
tt
p
p
tt
dd
pt
t
+η +η
−
−η −η
ϕτ τ ϕ τ τ
=
−
−τ−
τ−
∫∫
()
()
()()
()
()
{
1
11
1
1
1!
pp
tt
p
−−
−ϕ+η−−ϕ−η−
−η
()
()
()()
()
()
{
2
22
2
2!
1
1!
pp
tt
p
−−
−
ϕ+η−−ϕ−η
−η
−
K
()
()
()() ()
{
1
1
2!
1.
1!
p
p
p
tt
p
−
−
−
−ϕ+η−−ϕ−η
−η
K (2.5.3) 
        N −1             ⎡tk +1 ⎛                                                  ⎞ ⎤
      1                                   1                     1
    +    ∑   ϕ% (t ′j ) ⎢ ⎜
                        ⎢ ⎜ ∫                       p
                                                      +
                                                                         p
                                                                                   ⎟ d τ ⎥ + R , (2.5.2)
                                                                                   ⎟ ⎥        N
                                  ⎣ − ( t − ih ) ⎤⎦     ⎣ − ( t + ih )⎤⎦
      2 k =0
                        ⎢⎣ tk ⎝ ⎡τ                      ⎡τ                         ⎠ ⎥⎦
                                                                       N −1
где tk = −1 + 2k , k = 0,1,K, N − 1. Сумма
                N                                                      ∑
                                                                       k =0
                                                                              означает, что сумми-

                                                                                                         −1
                                                  (t + t )
рование проводится при k ≠ j − 1, j , j + 1; tk′ = k k +1            p
                                                                       .                        ,h = N
                                                         2
Особая точка t находится внутри интервала [ −1 + δ,1 − δ] , где δ >> h.

   Теорема 2.5.1. Пусть ϕ ( τ ) ∈W r (1) и ϕ(τ) − ϕ% (τ) ≤ ε. Для интегра-
                                                                                                     −1
                                                                                                          p
ла Адамара (2.5.1) квадратурная формула (2.5.2) при h = O( N                                                  )
                                 ⎛ −1          1− 1 ⎞
имеет погрешность RN ≤ A ⎜ N p + εN                p
                                                      ⎟⎟ .
                                 ⎜
                                 ⎝                     ⎠
  Доказательство. Представим интеграл Адамара (2.5.1) в виде сум-
мы интегралов
       1                   ⎡t −η             1                t +η         ⎤
           ϕ( τ)d τ              ϕ(τ)d τ        ϕ(τ)d τ            ϕ(τ)d τ ⎥
         ∫           = lim ⎢             ∫ +                + ∫             .      ∫
                    p η→0 ⎢              p                p              p⎥
       −1 ( τ − t )        ⎣ −1 (
                                  τ − t ) t +η ( ) t −η ( ) ⎦
                                                 τ − t             τ − t
  Из определения интеграла Адамара следует, что
                       t +η                                  t +η
                                ϕ( τ) d τ            1              ϕ( p −1) ( τ) d τ
                        ∫ (τ − t ) p         =
                                                 ( p − 1)!    ∫          τ−t
                                                                                      −
                       t −η                                  t −η

                   −
                            1
                       ( p − 1)!η    {
                                  ϕ( ) ( t + η) − ( −1) ϕ( ) ( t − η ) −
                                    p −1               1 p −1
                                                                                            }
             −
                       2!
                 ( p − 1)!η
                            {ϕ(
                                2
                                      p−2)
                                                 ( t + η) − ( −1)2 ϕ( p −2 ) ( t − η)     } −K
                           ( p − 2 )! ϕ t + η − −1 p −1 ϕ t − η
                 K−
                        ( p − 1)!η p −1
                                             {
                                        ( ) ( )          ( )                           }.           (2.5.3)




                                                       62

Страницы