Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

60
Аналогично оценивается
2
.r
Проведем оценку
3
r
:
() ()
()
1
1
1
3
0
1
0
()
()
() ( )
k
k
k
k
t
N
k
pp
k
Lt
t
N
k
p
k
t
dd
rt
tnh tnh
t
d
tnh
+
+
−
=
−
=
ϕτ τ τ
′
=−ϕ ≤
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− − ⎤
⎣⎦ ⎣⎦
′
ϕτ −ϕ
≤τ≤
⎡τ− − ⎤
⎣⎦
∑
∫∫
∑
∫
rr
r
()
()
()
2
11
2
*
222 222
22
00
*
1
NN
k
pp
kk
k
AA
hk hk
−−
==
Δ
≤
≤Δ ≤
+Δ +Δ
∑∑
()
() ()
1
1
1
2
*
01
222 222
22
**
11
N
N
pp
kkN
A
hk hk
−
==+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
≤Δ + ≤
⎜⎟
⎜⎟
+Δ +Δ
⎝⎠
∑∑
()
()
()
11
1
22
**
11
11
22
2
**
11 11
NN
pp p pp p
kN kN
NN
AA
hhk
ak
−
=+ =+
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
≤Δ + ≤Δ + ≤
⎜⎟
⎜⎟
ΔΔ
⎝⎠
⎜⎟
+
⎝⎠
∑∑
()
()
()
22
**
1
111
*
1
*
11
,
1
pp p p p
N
A
AA
hhhN
pN
−−−
⎛⎞
⎜⎟
≤Δ + ≤Δ ≤
⎜⎟
Δ
Δ−
⎝⎠
где
k
Δ – длина дуги
()
1
,
kk
tt
+
;
*
*1
max ; min ;
kk
N
Δ= Δ Δ= Δ – наи-
большее целое число, при котором сохраняется неравенство
1*
*
,.
h
hN a≥Δ =
Δ
   Аналогично оценивается r2 .
   Проведем оценку r3 :

                                                                N −1     tk +1
                      ϕ(τ)d τ                                dτ
          r3 =   ∫           r p
                                    −    ϕ(tk′ )                ∑
                                                                r p
                                                                     ≤       ∫
                  ⎡τ
                 L⎣  − ( t − nh ) ⎦ k =0
                                  ⎤                 ⎡τ
                                                 tk ⎣  − ( t − nh )⎦
                                                                   ⎤


                                  N −1 tk +1
                                            ϕ( τ) − ϕ(tk′ )
                          ≤       ∑ ∫                 r p
                                                              dτ ≤
                                  k =0 tk ⎣⎡τ − ( t − nh ) ⎤⎦

                 N −1
                                      Δ 2k                                       N −1
                                                                                                  1
              ≤ A∑                                              ≤ A ( Δ* )       ∑
                                                                             2
                                                        p                                                       p
                                                                                                                        ≤
                 k =0
                         (h   2
                                  +k Δ  2       2
                                                k   )       2                    k =0
                                                                                        (h   2
                                                                                                 +k Δ
                                                                                                   2    2
                                                                                                        *   )       2



                     ⎛                                                ⎞
                  ⎜ N1                                                ⎟  N −1
       ≤A Δ   ( ) ∑
               * 2⎜
                     ⎜ k =0
                                   1
                                          p
                                            +
                                                             1        ⎟≤
                                                                    p ⎟  ∑
                     ⎜
                     ⎝            (                             )
                            h 2 + k 2 Δ*2 2 k = N1 +1 h 2 + k 2 Δ*2 2 ⎟
                                                                      ⎠             (                   )
          ⎛                                 ⎞
         ⎜                                  ⎟       2⎛                   1 ⎞⎟
                              N −1                                N
≤A Δ( )
      * 2⎜  N1
               +
          ⎜ hp Δp
                 1
                                  ∑
                                       1    ⎟ ≤ A Δ* ⎜ N1 + 1
                                          p ⎟        ⎜ hp Δp              p⎟
                                                                              ≤  ( )                                    ∑
                                            (                       )
                          k = N1 +1 2                ⎝      * k = N1 +1 k  ⎠
          ⎜      *                 a + k2 2 ⎟
          ⎝                                 ⎠


                2⎛                       ⎞
          ( )                                                                ( )
                   N          1                   2    1      A
     ≤ A Δ*      ⎜ 1+                    ⎟ ≤ A Δ*         ≤     ,
                 ⎜h                   −                −      −
                 ⎝
                    p
                      Δ* ( p − 1) N1 ⎟⎠
                       p            p  1
                                                    h Δ* h 1 N
                                                     p  1   p


где Δ k – длина дуги ( tk , tk +1 ) ; Δ* = max Δ k ; Δ* = min Δ k ; N1 – наи-
большее целое число, при котором сохраняется неравенство
h ≥ N1Δ* , a = h .
                 Δ*


                                                                    60

Страницы