Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

59
()
()
()
()
(1)
(1) (1)
0
()
() ()
!
1!lim
r
rp
pp
L
t
tt
rp
p
tnh
−
−
−−
η→
⎡
ϕ
ϕτ−ϕ −− τ−
⎢
−
⎢
≤− −
⎢
τ− +
⎢
⎢
⎣
∫
K
r
()
()
()
(1)
(1) (1)
()
() ()
!
r
rp
pp
t
tt
rp
d
tn
−
−
−−
⎤
ϕ
ϕτ−ϕ −− τ−
⎥
−
⎥
−
τ=
⎥
τ− + η
⎥
⎥
⎦
K
r
()
()
(
)
()
(
)
()
()
()
()
0
()
1!lim
L
tn tnh
pd
tn tnh
η→
⎡⎤
ψτ τ− + η − τ− +
⎣⎦
=− τ≤
τ− + η τ− +
∫
r
r
rr
1
00
lim lim ,
rp rp
LL
tt
Ah d Ah d
tnh tn tnh
+− −
η→ η→
τ− τ−
≤τ≤τ
τ−− τ−−η τ−−
∫∫
rr r
где
()
()
()
(1) (1)
()
() () () .
!
rp
rp
pp
t
tt
rp
−
−
−−
ϕ
ψτ =ϕ τ−ϕ − − τ−
−
K
Здесь нужно рассмотреть два случая: 1) ,rp
=
2) .rp>
В первом случае
ln
L
d
Ah
tnh
τ
≤
τ− −
∫
r
и, следовательно,
1
ln .rAhh≤
Во втором случае
rp
L
t
dA
tnh
−
τ−
τ
≤
τ− −
∫
r
и, следовательно,
1
.rAh≤ 
                      ⎡ ( p −1)                           ϕ( r −1) (t )
                      ⎢ϕ        (τ) − ϕ( p −1) (t ) − K −               ( τ − t )r − p
      ≤ ( p − 1)! lim ⎢
                                                           ( r − p  ) !
                 η→0 ⎢   ∫                              r
                                              τ − ( t + nh )
                                                                                       −
                     L⎢
                      ⎢⎣

                                               ϕ( r −1) (t )                 ⎤
               ϕ( p −1) (τ) − ϕ( p −1) (t ) − K −            ( τ − t )r − p ⎥
            −
                                               ( r − p )!                   ⎥ dτ =
                                            r                               ⎥
                                τ − ( t + nη )
                                                                            ⎥
                                                                            ⎥⎦
                                               r                       r
                           ψ (τ) ⎡⎣( τ − ( t + nη ) ) − ( τ − ( t + nh ) ) ⎤⎦
           = ( p − 1)! lim   ∫                                                 dτ ≤
                      η→0
                             L
                                ( τ − ( t + nrη) ) ( τ − ( t + nh r
                                                                     ))
                                   r +1− p                                       r− p
                               τ−t                                        τ−t
        ≤ Ah lim
              η→0    ∫           r          r d τ ≤ Ah lim
                         τ − t − nh τ − t − nη        η→0             ∫ τ − t − nh
                                                                                r dτ ,
                     L                                                L
где
                                                          ϕ( r − p ) (t )
            ψ( τ) = ϕ( p −1) ( τ) − ϕ( p −1) (t ) − K −                   ( τ − t )r − p .
                                                           ( r − p )!
   Здесь нужно рассмотреть два случая: 1) r = p, 2) r > p.
   В первом случае
                                         dτ
                                  ∫ τ − t − nh
                                            r ≤ A ln h
                                  L
и, следовательно, r1 ≤ Ah ln h .
   Во втором случае
                                              r− p
                                       τ−t
                                   ∫ τ − t − nh
                                             r dτ ≤ A
                                   L

и, следовательно, r1 ≤ Ah.


                                              59

Страницы