Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 60 стр.

   Аналогично оценивается r4 .
   Оценки r5 и r6 производятся следующим образом:
                                      tk +1                                   N −1 tk +1
       N −1
                                                         dτ                                        dτ
r5 =   ∑ ( ϕ(tk′ ) − ϕ% (tk′ ) )        ∫                  r p              ≤ ε∑     ∫                  r p ≤
       k =0                             tk    ⎡⎣ τ − ( t − nh ) ⎤⎦            k = 0 tk     ⎡⎣ τ − ( t − nh ) ⎤⎦
              N −1         tk +1 − tk                                N −1
                                                                                     1                        ε
   ≤ Aε       ∑                              p
                                                      = AεN p −1     ∑                         p
                                                                                                   ≤A
                                                                                                          h   p −1
                                                                                                                     .
              k =0   ⎡k2       2⎤                2                   k =0   ⎡k + h N
                                                                             2       2      2⎤ 2
                     ⎢⎣ N 2 + h ⎥⎦                                          ⎣        ⎦

   В результате, погрешность квадратурной формулы                                                              (2.4.2)
       ⎛ −1            1− 1 ⎞
RN ≤ A ⎜ N p ln N + εN     p
                             ⎟⎟ . Теорема доказана.
       ⎜
       ⎝                      ⎠

 2.5. Эффективный метод вычисления интеграла
        Адамара на конечном интервале
  Рассмотрим функцию ϕ( τ) определенную на сегменте [ −1,1] ,
имеющую производные до r -го порядка включительно. Предполо-
жим, что функция ϕ( τ) задана на [ −1,1] приближенными значения-
ми ϕ% ( τ ) такими, что ϕ(τ) − ϕ% (τ) ≤ ε.
   Для интеграла Адамара
                                                            1
                                                                 ϕ(τ)d τ
                                                     Aϕ =   ∫ (τ − t ) p                                       (2.5.1)
                                                            −1

построим квадратурную формулу следующего вида:

           N −1          ⎡tk +1 ⎛                                                              ⎞ ⎤
         1                               1                     1
    Aϕ =         ∑
                ϕ% (tk ) ⎢ ⎜
                         ⎢ ⎜      ∫                p
                                                     +
                                                                         p
                                                                                               ⎟ d τ⎥ +
                                                                                               ⎟ ⎥
                         ⎣⎢ tk ⎝ ⎣ (
         2 k =0                   ⎡τ − t − ih ) ⎤⎦     ⎣ − ( t + ih ) ⎤⎦
                                                       ⎡τ                                      ⎠ ⎦⎥




                                                                61