Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

57
11
1
ln .
pp
N
RAN NN
−
−
⎛⎞
≤+ε
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Доказательство
. Из результатов Л. А.Чикина [42] следует, что
()
1()
() (),
p
L
d
tt
i
t
+−
ϕτ τ
=θ +θ
π
τ−
∫
где
()
0
1()
() lim ,
2
p
L
d
t
i
tn
+
η→
ϕτ τ
θ=
π
⎡τ− + η ⎤
⎣⎦
∫
r
()
0
1()
() lim .
2
p
L
d
t
i
tn
−
η→
ϕτ τ
θ=
π
⎡
τ− − η ⎤
⎣
⎦
∫
r
По определению интеграла Адамара
()
()
(1)
() ()
1! .
p
p
LL
d
p
d
t
t
−
ϕτ τ ϕ τ
=
−τ
τ−
τ−
∫∫
В силу теоремы Коши
() ()
()
()
()
(1) (1)
() ()
() ()
1! .
pp
LL
pp
LL
dd
tnh tnh
dd
p
tnh tnh
−−
ϕτ τ ϕτ τ
+=
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎣⎦⎣⎦
⎡
⎤
ϕ
ττ ϕ ττ
⎢
⎥
=− +
τ− − τ− +
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫
∫∫
rr
rr
Тогда
()
() ()
(1) (1)
0
() ( 1)! () ()
lim .
2
pp
p
LLL
dp d d
tn tn
t
−−
η→
⎡
⎤
ϕ
ττ − ϕ ττ ϕ ττ
⎢
⎥
=+
τ
−−η τ−+η
⎢
⎥
τ−
⎣
⎦
∫∫∫
rr
Из этого соотношения следует оценка погрешности квадратурной
формулы (2.4.2):
()
() ()
1
0
() 1 1 1
()
2
k
k
t
N
Nk
ppp
k
Lt
d
Rt d
t
tnh tnh
+
=
⎡⎤
ϕτ τ
⎢⎥
′
=−ϕ + τ≤
⎢⎥
τ−
⎡τ− − ⎤ ⎡τ− + ⎤
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
∑
∫∫
%
rr
                         ⎛ −1            1− 1 ⎞
                  RN ≤ A ⎜ N p ln N + εN     p
                                               ⎟⎟ .
                         ⎜
                         ⎝                      ⎠
  Доказательство. Из результатов Л. А.Чикина [42] следует, что
                                   1        ϕ(τ)d τ            +
                                        ∫ (τ − t ) p = θ           (t ) + θ− (t ),
                                   πi
                                        L
где
                    1      ϕ(τ)d τ                          1      ϕ(τ)d τ
  θ+ (t ) = lim           ∫                , θ− (t ) = lim                          .   ∫
                                  r
               η→0 2πi ⎡τ − ( t + nη ) ⎤ p             η→0 2πi ⎡τ − ( t − nrη ) ⎤ p
                      L⎣               ⎦                      L ⎣               ⎦
  По определению интеграла Адамара

                                  ϕ(τ)d τ                           ϕ( p −1) (τ)
                              ∫ (τ − t ) p    = ( p − 1)!      ∫                 d τ.
                                                                       τ−t
                              L                                L

  В силу теоремы Коши
                                  ϕ(τ)d τ                          ϕ(τ)d τ
                     ∫ ⎡τ − ( t − nh
                                  r p ∫
                                     )⎤
                                        +
                                                     r p
                                          ⎡τ − ( t + nh ) ⎤
                                                            =
                     L⎣                       ⎦         L⎣                    ⎦
                                ⎡ ϕ( p −1) ( τ)d τ     ϕ( p −1) (τ)d τ ⎤
                     = ( p − 1)!⎢       ∫     r    +              r ⎥.∫
                                ⎢ τ − ( t − nh )       τ − ( t + nh ) ⎥
                                ⎣L                   L                 ⎦
  Тогда
               ϕ(τ)d τ            ( p − 1)! ⎡ ϕ( p −1) ( τ)d τ     ϕ( p −1) (τ)d τ ⎤
           ∫ (τ − t ) p   = lim
                              η→0
                                            ⎢
                                                      ∫
                                      2 ⎢ τ − ( t − nη)
                                                          r    +              r ⎥.∫
                                                                   τ − ( t + nη ) ⎥
           L                                ⎣L                   L                 ⎦
  Из этого соотношения следует оценка погрешности квадратурной
формулы (2.4.2):

                                  N           tk +1 ⎡                                  ⎤
            ϕ(τ) d τ       1                                  1                1
RN =   ∫ (τ − t ) p    −          ∑
                                  ϕ% (tk′ )       ∫  ⎢
                                                     ⎢ ⎡τ − t − nh
                                                                r p
                                                                      +
                                                                                 r p⎥
                                                                                       ⎥ dτ ≤
       L
                           2 k =0
                                                  tk ⎣ ⎣   (       )⎦ ⎣ (
                                                                    ⎤   ⎡τ − t + nh )⎦ ⎦
                                                                                     ⎤



                                                          57

Страницы