Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

56
Из оценок величин
15
,,
ii
rrK следует, что
1
.
rp
N
RAN
−
−+
≤
Аналогичная оценка справедлива и для квадратурной форму-
лы (2.3.12). Теорема доказана.
2.4. Эффективный метод приближенного
вычисления интеграла Адамара
на замкнутом контуре
Рассмотрим интеграл Адамара в комплексной плоскости
()
()
p
L
d
A
t
ϕ
ττ
ϕ=
τ−
∫
(2.4.1)
по замкнутому контуру L. Функция ()
ϕ
τ определена на всем контуре
и имеет производные до
r
-го порядка включительно, причем
()
max ( ) 1,
r
L
ϕτ≤ т. е. ( ) (1).
r
Wϕτ∈ Предположим, что функция ()ϕτ
задана с погрешностью. Это означает: вместо функции ()
ϕ
τ задана
функция ()
ϕ
τ
%
такая, что () () .
ϕ
τ−ϕτ ≤ε
%
Проведем разбиение контура
L на
N
равных частей точками
k
t
и построим квадратурную формулу следующего вида:
()()
1
0
111
() ,
2
k
k
t
N
kN
pp
k
t
At dR
tnh tnh
+
=
⎡⎤
⎢⎥
′
ϕ= ϕ + τ+
⎢⎥
τ− + τ− −
⎣⎦
∑
∫
rr
(2.4.2)
где
k
t
′
– точка контура L, равноотстоящая от
k
t и
1k
t
+
;
1
;
p
hN n
−
=
r
–
нормальный вектор к контуру L в точке
k
t
′
, направленный вне контура L.
Теорема 2.4.1. Пусть функция () (1)( )
r
Wrp
τ∈ ≥ задана на кри-
вой L значениями
()
k
t
′
ϕ
%
, причем () () .
kk
tt
′′
ϕ
−ϕ ≤ε
%
Погрешность квад-
ратурной формулы (2.4.2) при
1
p
hN
−
= оценивается неравенством 
   Из оценок величин r1i ,K, r5i следует, что RN ≤ AN − r −1+ p .
   Аналогичная оценка справедлива и для квадратурной форму-
лы (2.3.12). Теорема доказана.

        2.4. Эффективный метод приближенного
             вычисления интеграла Адамара
                 на замкнутом контуре
      Рассмотрим интеграл Адамара в комплексной плоскости
                                                  ϕ(τ)d τ
                                       Aϕ =   ∫ (τ − t ) p                       (2.4.1)
                                              L

по замкнутому контуру L. Функция ϕ(τ) определена на всем контуре
и имеет производные до r -го порядка включительно, причем
max ϕ( r ) (τ) ≤ 1, т. е. ϕ( τ) ∈ W r (1). Предположим, что функция ϕ( τ)
  L
задана с погрешностью. Это означает: вместо функции ϕ( τ) задана
функция ϕ% (τ) такая, что ϕ( τ) − ϕ% (τ) ≤ ε.
   Проведем разбиение контура L на N равных частей точками tk
и построим квадратурную формулу следующего вида:
                             tk +1 ⎡                               ⎤
            1 N                            1                1
       Aϕ =    ∑   ϕ(tk′ )    ∫  ⎢
                                             r p
                                 ⎢ ( τ − t + nh
                                                  +                ⎥
                                                              r p ⎥ d τ + RN ,   (2.4.2)
            2 k =0
                              tk ⎣              )   ( τ − t − nh ) ⎦
                                                               −1
                                                                    r
где tk′ – точка контура L, равноотстоящая от tk и tk +1 ; h = N p ; n –
нормальный вектор к контуру L в точке tk′ , направленный вне контура L.

   Теорема 2.4.1. Пусть функция ϕ( τ) ∈ W r (1) (r ≥ p ) задана на кри-
вой L значениями ϕ% (tk′ ) , причем ϕ(tk′ ) − ϕ% (tk′ ) ≤ ε. Погрешность квад-
                                                    −1
                                                         p
ратурной формулы (2.4.2) при h = N                           оценивается неравенством


                                               56

Страницы