Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

55
Суммы
1
i
r
и
5
i
r
оцениваются одинаково. Для определенности бу-
дем считать 0.j > Нетрудно видеть, что
()
(
)
,1
,
1
1
1,,1
0
1
() , ,
i
i
kl
k
i
i
kl
t
m
iii
rklkl
p
kA l
t
rPttd
jk
+
−
−
+
=− =
⎡⎤
=
ϕτ − τ τ
⎣⎦
−
∑∑
∫
+
()
(
)
,1
,
1
1
,,1
00
1
() , , .
i
i
kl
k
i
kl
t
m
j
ii r
rklkl
p
kl
t
Ptt dCN
jk
+
−
−
+
==
⎡⎤
+ϕτ−ττ≤
⎣⎦
−
∑∑
∫
Суммы
2
i
r и
4
i
r также оцениваются одинаково. Поэтому ограни-
чимся рассмотрением первой из них:
(
)
()
,1
,
2
,,1
2
0
() , ,
i
jl
i
jl
ii
t
s
rjkjl
i
p
l
t
Ptt
rd
t
+
−
+
=
⎡⎤
ϕτ − τ
⎣⎦
=τ≤
τ−
∑
∫
(
)
,1
,
2
,,1
0
1
2
1
0
() , ,
1
(1)
1
.
1
22(1)!
i
kl
i
kl
p
t
i
S
j
ii
rklkl
l
t
pr
i
s
j
rp
r
ir
j
l
m
Ptt d
s
m
R
CN
s
mr
+
−
+
=
+
−
−−+
=
⎛⎞
⎡⎤
⎜⎟
≤
ϕτ − τ τ≤
⎣⎦
⎜⎟
−
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
≤≤
⎜⎟⎜⎟
−
+
⎝⎠⎝⎠
∑
∫
∑
Осталось оценить интеграл
3
i
r :
(
)
()
,2
,1
,1 , 2
11
3
() , ,
ln ( ).
i
js
i
js
ii
t
rksks
irprp
p
t
Pt t
rdCNNON
t
−
−
−+
−
+− −+−
⎡⎤
ϕτ − τ
⎣⎦
=τ≤=
τ−
∫
   Суммы r1i и r5i оцениваются одинаково. Для определенности бу-
дем считать j > 0. Нетрудно видеть, что
                                                                       i
                            −1                            mki −1 tk ,l +1
             r1i =          ∑              ∑ ∫
                                                1
                          k =− A ( j − k ) l = 0 t
                                                      p
                                                                           i
                                                                                                  ⎣        (
                                                                                   ϕ ( τ) − Pr τ, ⎡ t ki ,l , t ki ,l +1 ⎤ d τ +
                                                                                                                         ⎦          )
                                    i                                      k ,l

                                                          i
                  j −1                          mki −1 tk ,l +1
            +    ∑
                                 1
                               ∑ ∫
                k =0 ( j − k ) l =0 t
                                            p
                                                              i
                                                                                   ⎣       (
                                                                     ϕ( τ) − Pr τ, ⎡tki ,l , tki ,l +1 ⎤ d τ ≤ CN r .
                                                                                                       ⎦                    )
                                                              k ,l


  Суммы r2i и r4i также оцениваются одинаково. Поэтому ограни-
чимся рассмотрением первой из них:
                                                   i
                                            s − 2 t j ,l +1 ϕ( τ) − Pr             ( τ, ⎡⎣t        i         i        ⎤
                                                                                                    j , k , t j ,l +1 ⎦   ) dτ ≤
                              r2i       =   ∑ ∫
                                            l =0 t i
                                                   j ,l
                                                                                  (τ − t ) p
                                          p ti
                            S −2 ⎛ m ij ⎞ k ,l +1
                         ≤  ∑   ⎜       ⎟
                                ⎜ s −1⎟ i
                           l =0 ⎝
                                                                  ⎣                      ⎦     (
                                                  ϕ ( τ ) − Pr τ, ⎡ t ki ,l , t ki ,l +1 ⎤ d τ ≤
                                                               ∫                                                                )
                                        ⎠ t k ,l
                                                     p                      r +1
                            s−2 ⎛  mi ⎞                  ⎛ 1           ⎞               Rr (1)
                         ≤  ∑   ⎜ j ⎟
                                ⎜ s −1⎟
                                                         ⎜
                                                         ⎜ 2 m ij
                                                                       ⎟
                                                                       ⎟               r
                                                                                   2 ( r + 1)!
                                                                                                               ≤ CN − r −1+ p .
                           l =0 ⎝     ⎠                  ⎝             ⎠

      Осталось оценить интеграл r3i :

          t ij , s − 2
                                      ⎣     (
                         ϕ(τ) − Pr τ, ⎡tki ,s −1, tki ,s + 2 ⎤
                                                             ⎦                    ) d τ ≤ CN              − r + p −1
                                                                                                                          ln N = O( N − r + p −1 ).
r3i   =       ∫                              (τ − t)      p
          t ij , s −1




                                                                                  55

Страницы