Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

53
Доказательство
теоремы 2.3.4. Погрешность квадратурной фор-
мулы (2.3.7) оценивается неравенством
() ()
2
1
1
1
() () () ()
i
i
j
k
ii
i
kj
t
t
j
i
NN
N
pp
kA
tt
Rdd
tt
+
+
−
−
=−
ϕτ −ϕ τ ϕτ −ϕ τ
≤τ+τ+
τ− τ−
∑
∫∫
()
1
21
2
() ()
i
k
i
k
t
N
N
p
kj
t
d
t
+
−
=+
ϕτ −ϕ τ
+τ+
τ−
∑
∫
()
()
i
A
p
d
t
−
−∞
ϕτ τ
++
τ−
∫
()
12345
()
.
i
iiiii
p
A
d
rrrrr
t
∞
ϕτ τ
=
++++
τ−
∫
Выражения
1345
,,,
iiii
rrrr оцениваются точно по такой же схеме, что
и аналогичные выражения, рассмотренные при доказательстве пре-
дыдущей теоремы. Исключение составляет оценка интеграла
2
i
r :
()
2
1
2
() ()
i
j
i
j
t
i
N
p
t
rd
t
+
−
ϕτ −ϕ τ
=
τ=
τ−
∫
()
2
1
(1)
11
(() ())
ln .
i
j
i
j
t
p
rp rp
N
t
dAN AN N
t
+
−
−
−+ − −+ −
ϕτ −ϕ τ
=τ+≤
τ−
∫
Из полученных оценок следует неравенство
1
ln .
irp
N
R
AN N
−+ −
≤
Аналогичным образом оценивается погрешность квадратурной
формулы (2.3.8). Теорема доказана.
Доказательство
теоремы 2.3.5. В статье В. М. Тихомирова [41]
приведена классическая оценка погрешности интерполяционной 
  Доказательство теоремы 2.3.4. Погрешность квадратурной фор-
мулы (2.3.7) оценивается неравенством
                               i
                         j −1 tk +1                                          t ij + 2
                                         ϕ( τ) − ϕ N ( τ)                               ϕ( τ) − ϕ N ( τ)
        i
       RN ≤             ∑ ∫                                         dτ +       ∫                           dτ +
                      k =− Ai     tki          (τ − t ) p                    t ij −1       (τ − t ) p
                                                 i
                                        2 N −1 t k +1
                                                               ϕ( τ) − ϕ N ( τ)
                                 +       ∑ ∫                                            dτ +
                                     k = j+2          t ki        (τ − t ) p

                       − Ai                          ∞
                              ϕ(τ)d τ                         ϕ(τ)d τ
                 +      ∫     (τ − t )   p
                                               +     ∫ (τ − t ) p       = r1i + r2i + r3i + r4i + r5i .
                       −∞                            Ai


   Выражения r1i , r3i , r4i , r5i оцениваются точно по такой же схеме, что
и аналогичные выражения, рассмотренные при доказательстве пре-
дыдущей теоремы. Исключение составляет оценка интеграла r2i :

                                                   t ij + 2
                                                              ϕ(τ) − ϕ N (τ)
                                         r2i   =     ∫          (τ − t ) p
                                                                                dτ =
                                                   t ij −1

           t ij + 2
                      (ϕ(τ) − ϕ N ( τ))( p −1)
       =     ∫                                 d τ + AN − r + p −1 ≤ AN − r + p −1 ln N .
           t ij −1
                             (τ − t )

                                             i
   Из полученных оценок следует неравенство RN ≤ AN − r + p −1 ln N .

  Аналогичным образом оценивается погрешность квадратурной
формулы (2.3.8). Теорема доказана.
  Доказательство теоремы 2.3.5. В статье В. М. Тихомирова [41]
приведена классическая оценка погрешности интерполяционной



                                                                 53

Страницы