Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

52
В. М. Тихомиров в работе [41] показал, что если
() ()
N
tt
ϕ
−ϕ ≤
ln ,
r
CN N
−
≤ то
()
()
() () ln .
p
rp
N
tt CN N
−+
ϕ−ϕ ≤ Следовательно,
1
2
ln .
rp
rCN N
−+
≤
Сумма
3
i
r оценивается аналогично сумме
13
:ln.
ii r
rr CN N
−
≤
Оценим интеграл
5
,
i
r
полагая, что
(
)
00
ϕ
= . Тогда
11 1
1
5
() () (0) ( () (0))
.
pp p
AA A
de
rdd
tt t
∞∞ ∞
−τ
+λ +λ +λ
ϕτ τ ϕτ−ϕ ϕτ−ϕ
=
=τ= τ
τ− τ− τ−
∫∫ ∫
Рассмотрим отдельно случаи, когда
11
11AtA
−
+≤≤ − и когда
(
][
)
11
,1 1,.tAA∈−∞− − + ∞U В первом случае
1
11
11
511
ln .
A
rp
p
AA
ed
rCAedCAeCNN
t
∞∞
−τ
−
−τ − + −
+λ
ττ
≤≤τ==
τ−
∫∫
Во втором случае, воспользовавшись определением интеграла
Адамара, имеем
1
1
5
(() (0))
p
A
e
rd
t
∞
−τ
+λ
ψτ−ψ
≤τ≤
τ−
∫
1
()
11
( ( ( ) (0)))
.
p
rp rp
A
e
C d CN CN
t
∞
−τ
−
+− −+−
λ
ψτ−ψ
≤τ+=
τ−
∫
Следовательно,
11
5
.
rp
rCN
−
+−
=
Интеграл
1
4
r
оценивается аналогично. Собирая полученные оцен-
ки, при 0λ≠ имеем
ln .
rp
N
CN N
−+
≤ Погрешность квадратурной
формулы (2.3.6) оценивается аналогично. Теорема доказана. 
   В. М. Тихомиров в работе [41] показал, что если ϕ(t ) − ϕ N (t ) ≤

≤ CN − r ln N , то              ( ϕ(t ) − ϕ N (t ) )( p )        ≤ CN − r + p ln N .     Следовательно,

r21 ≤ CN − r + p ln N .
   Сумма r3i оценивается аналогично сумме r1i : r3i ≤ CN − r ln N .

   Оценим интеграл r5i , полагая, что ϕ ( 0 ) = 0 . Тогда
                 ∞                          ∞                            ∞ −τ
                          ϕ(τ)d τ               ϕ( τ) − ϕ(0)                  e (ϕ(τ) − ϕ(0))
         r51 =   ∫             p +λ
                                        =   ∫             p +λ
                                                                  dτ =   ∫             p +λ
                                                                                                d τ.
                 A1 τ − t                   A1 τ − t                     A1      τ−t

   Рассмотрим отдельно случаи, когда − A1 + 1 ≤ t ≤ A1 − 1 и когда
t ∈ ( −∞, − A1 − 1] U [ A1 + 1, ∞ ) . В первом случае
                 ∞                                   ∞
                          e −τ τd τ
         r51 ≤   ∫                     ≤ CA1 e −τ d τ = CA1e− A1 = CN − r + p −1 ln N .
                                                     ∫
                               p +λ
                 A1   τ−t                            A1

  Во втором случае, воспользовавшись определением интеграла
Адамара, имеем
                                                ∞ −τ
                                                     e (ψ( τ) − ψ (0))
                                      r51 ≤     ∫         τ−t
                                                                 p +λ
                                                                              dτ ≤
                                                A1

                     ∞
                          (e −τ (ψ (τ) − ψ (0)))( p )
           ≤C        ∫                                       d τ + CN − r + p −1 = CN − r + p −1.
                                                 λ
                     A1                τ−t

   Следовательно, r51 = CN − r + p −1.
   Интеграл r41 оценивается аналогично. Собирая полученные оцен-
ки, при λ ≠ 0 имеем RN ≤ CN − r + p ln N . Погрешность квадратурной
формулы (2.3.6) оценивается аналогично. Теорема доказана.




                                                           52

Страницы