Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

50
Доказательство
теоремы 2.3.3. Погрешность квадратурной фор-
мулы (2.3.5) оценивается неравенством
2
1
1
1
() () () ()
i
i
j
k
ii
i
kj
t
t
j
i
NN
N
pp
kA
tt
Rdd
tt
+
+
−
−
+λ +λ
=−
ϕτ −ϕ τ ϕτ −ϕ τ
=τ+τ+
τ− τ−
∑
∫∫
2
21
2
() ()
i
k
i
k
t
N
N
p
kj
t
d
t
+
−
+λ
=+
ϕτ −ϕ τ
+τ+
τ−
∑
∫
12345
() ()
.
i
i
A
iiiii
pp
A
dd
rrrrr
tt
−
∞
+λ +λ
−∞
ϕτ τ ϕτ τ
+
+ =++++
τ− τ−
∫∫
Для определенности будем считать, что 0.j > Подробно рассмот-
рим случай, когда весовой функцией является
1
() exp( ).ttρ= − Не-
трудно видеть, что
11
11
11
11
1
1
1
() () () ()
kk
kk
tt
j
i
NN
pp
kA kA
tt
rd d
tt
++
−
−
+λ +λ
=− =−
ϕτ −ϕ τ ϕτ −ϕ τ
=τ≤τ+
τ− τ−
∑∑
∫∫
11
11
11
1
1
1
0
() ()
1
() ()
kk
kk
p
tt
j
N
N
p
kkA
tt
dd
kj
t
++
+λ
−
−
+λ
==−
⎛⎞
ϕτ −ϕ τ
τ
≤ϕτ−ϕττ+
⎜⎟
⎜⎟
+
τ−
⎝⎠
∑∑
∫∫
()
1
1
1
11
1
1
1
0
1
1
()
1
1
() ()
ln
1
max ( )
k
k
kk
p
t
j
N
k
t
p
r
k
r
ttt
kA
k
d
kj
n
Ct
kj
n
+
+
+λ
−
=
+λ
−
≤≤
=−
⎛⎞
+ϕτ−ϕττ≤
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎛⎞
≤ϕ+
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
∑
∫
∑
  Доказательство теоремы 2.3.3. Погрешность квадратурной фор-
мулы (2.3.5) оценивается неравенством
                                   i
                             j −1 tk +1                                       t ij + 2
                                          ϕ(τ) − ϕ N (τ)                                 ϕ(τ) − ϕ N (τ)
              i
             RN =           ∑ ∫                τ−t
                                                       p +λ
                                                                  dτ +          ∫              τ−t
                                                                                                     p +λ
                                                                                                                dτ +
                           k =− Ai t i                                        t ij −1
                                    k

                                               i
                                       2 N −1 tk + 2
                                                           ϕ(τ) − ϕ N (τ)
                                   +     ∑ ∫                 τ−t
                                                                     p +λ
                                                                                  dτ +
                                       k = j+2 ti
                                                k


                   − Ai                        ∞
                            ϕ(τ)d τ                  ϕ(τ)d τ
               +       ∫   τ−t
                                   p +λ
                                          +     ∫    τ−t
                                                              p +λ
                                                                     = r1i + r2i + r3i + r4i + r5i .
                   −∞                          Ai

  Для определенности будем считать, что j > 0. Подробно рассмот-
рим случай, когда весовой функцией является ρ1 (t ) = exp( − t ). Не-
трудно видеть, что
                         1
                   j −1 tk +1                                        −1        t1k +1
                                  ϕ( τ) − ϕ N (τ)                                        ϕ(τ) − ϕ N (τ)
       r1i =       ∑ ∫                 τ−t
                                              p +λ
                                                           dτ ≤      ∑ ∫                       τ−t
                                                                                                     p +λ
                                                                                                                dτ +
                 k =− A1 t1                                       k =− A1 t1
                          k                                                k

          1
    j −1 tk +1                                       −1                       p +λ t1k +1
                 ϕ(τ) − ϕ N (τ)                      ⎛ 1                 ⎞
   ∑ ∫              τ−t
                                p +λ
                                        dτ ≤         ∑
                                                     ⎜⎜
                                                        k +
                                                                          ⎟
                                                                       j ⎟⎠              ∫      ϕ(τ) − ϕ N (τ) d τ +
   k =0 t1                                   k =− A1 ⎝                                   t1k
         k


                       j −1 ⎛                p +λ t1k +1
                               1 ⎞
                   +   ∑  ⎜⎜        ⎟
                             k − j ⎟⎠                ∫      ϕ( τ) − ϕ N ( τ) d τ ≤
                     k =0 ⎝                          t1k
                           −1                        p +λ
                               ⎛ 1 ⎞                          ln n1k
                   ≤       ∑  C⎜
                               ⎜ k + j ⎟⎟
                                                                              max              ϕ ( r ) (t ) +
                                                             ( )
                                                                  r 1      1
                       k =− A1 ⎝        ⎠                      n1k tk ≤t ≤tk +1




                                                             50

Страницы