Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

48
при
)
,,1
,
ii
js js
ttt
+
⎡
∈
⎣
и
(
]
[
]
[
)
,1 1,1 1,;
iiii
tA AAA∈−∞− − − + − + ∞UU
(
)
()
1,
,
11
1
10
,,
i
i
kl
ik
i
i
kl
ii
t
Am
rkk
p
kA l
t
Ptt
Gd
t
+
−−
+
=− + =
⎡⎤
ϕ
⎣⎦
ϕ= τ
τ−
∑∑
∫
(2.3.12)
при
[]
[
]
1, 1 1, 1 .
ii ii
tA A AA∈− − − + − +U
Теорема 2.3.6. Погрешность квадратурных формул (2.3.11)–(2.3.12),
предназначенных для вычисления интеграла Коши–Адамара (2.3.2)
при
(
)
00ϕ= на классе (1), 1, 2, 3
i
r
Wi
ρ
= , равна
(
)
1
.
rp
N
RON
−−+
=
Доказательство
теоремы 2.3.1 проводится более сложным доказа-
тельством теоремы 2.3.2 и поэтому не дано.
Доказательство
теоремы 2.3.2. Для определенности ограничимся
доказательством теоремы при весе
1
().t
ρ
Введем множество то-
чек Q, состоящее из узлов
{
}
k
t квадратурной формулы (2.3.4) и точек
1,0,1,,2.
k
k
vkN
N
=− + = K Точки множества Q обозначим через .
k
w
Введем функцию
**
() (),
t
jj
ta t
−
ϕ=ψ где
()( )
()
[][]
()
1
1
*
1111
11
sgn
2
() при ,,, , ,
0 при ,
r
p
rr
kk
kk j
jkkkkjj
jj
ww
At w w t t v
ttwwwwvv
tv v
−
+
+
++−+
−+
⎧
−
⎛⎞
⎪
−− −
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎪
ψ= ∈ =∅
⎨
⎪
⎡⎤
∈
⎪
⎣⎦
⎪
⎩
I
Константа
A выбирается из условия (1).
r
j
Wψ∈
Рассмотрим интеграл
()
()
()
()
1** *1
21
*
1
1
() () ()
kj
kj
v
Nj
jj j
jj
pp p
k
v
jj
dd d
Gv
t
vv
++
+
∞
−−
=
−∞ −
ϕττ ϕττ ϕττ
ϕ= ≥ ≥ +
τ−
τ− τ−
∑
∫∫ ∫
                           )
при t ∈ ⎡t ij , s , t ij , s +1 и t ∈ ( −∞, − Ai − 1] U [ − Ai + 1, Ai − 1] U [ Ai + 1, ∞ ) ;
        ⎣
                                                      i
                                     Ai −1 mki −1 tk +1,l Pr       (ϕ, ⎡⎣t , t ⎤⎦ ) d τ
                                                                         i i
                                                                         k k +1
                       Gϕ =          ∑ ∑ ∫                                                    (2.3.12)
                                  k =− Ai +1 l =0     tki ,l        (τ − t ) p
при t ∈ [ − Ai − 1, − Ai + 1] U [ Ai − 1, Ai + 1].

   Теорема 2.3.6. Погрешность квадратурных формул (2.3.11)–(2.3.12),
предназначенных для вычисления интеграла Коши–Адамара (2.3.2)
при ϕ ( 0 ) = 0 на классе Wρr (1), i = 1, 2,3 , равна RN = O N − r −1+ p .
                                          i
                                                                                      (        )
   Доказательство теоремы 2.3.1 проводится более сложным доказа-
тельством теоремы 2.3.2 и поэтому не дано.
   Доказательство теоремы 2.3.2. Для определенности ограничимся
доказательством теоремы при весе ρ1 (t ). Введем множество то-
чек Q, состоящее из узлов {tk } квадратурной формулы (2.3.4) и точек
vk = −1 + k        , k = 0,1,K , 2 N . Точки множества Q обозначим через wk .
               N
                           −t
Введем функцию ϕ*j (t ) = a ψ*j (t ), где
                    ⎧                                                −r
                                                 r ⎛ wk +1 − wk ⎞
                                                                                      (   )
                                  r                                                  p
                    ⎪ A ( t − wk ) ( wk +1 − t ) ⎜                 ⎟     sgn t − v j
                    ⎪                              ⎝       2       ⎠
                    ⎪
                                                                         (
         ψ j (t ) = ⎨при t ∈ [ wk , wk +1 ] , [ wk , wk +1 ] I v j −1 , v j +1 = ∅,
          *
                                                                                      )
                    ⎪
                    ⎪0 при t ∈ ⎡⎣v j −1 , v j +1 ⎤⎦
                    ⎪
                    ⎩
Константа A выбирается из условия ψ j ∈W r (1).
    Рассмотрим интеграл
                       ∞
                               ϕ*j (τ)d τ     1  2 N − j −1 vk + j +1 ϕ* ( τ) d τ
                                                  ϕ*j (τ) d τ
      Gϕ*j   ( ) ∫
              vj =              ≥             ∫≥
                                                                       j
                                                                         ∑        ∫            +
                           (          )           (            )
                              p              p                                 p
                   −∞ τ − v j     −1 τ − v j        k =1 vk + j ( τ − t )




                                                      48

Страницы