Приближенные методы вычисления интегралов Адамара. Бойков И.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

46
При
[]
[
]
1, 1 1, 1
ii ii
tA A AA
∈
−−−+ − +U интеграл G
ϕ
будем вы-
числять по квадратурной формуле
()
()
()
1
()
2
1
()
,
i
k
i
i
i
k
t
A
N
iN
p
kA
t
GdR
t
+
−
=− +
ϕτ
ρψ = τ+
τ−
∑
∫
(2.3.8)
где
()
(
)
()
k
Nn
Pϕτ= ϕτ при
[
]
1
,.
rk
tt
+
∈
τ
Теорема 2.3.4. Погрешность квадратурных формул (2.3.7)–(2.3.8),
предназначенных для вычисления интеграла Коши–Адамара (2.3.2)
при
()
00ϕ=
на классе (1), 1, 2, 3,
i
r
Wi
ρ
= равна (ln).
rp
N
R
ON N
−+
=
Обозначим через
(, )
rk
Tt
Δ
полином Чебышева I рода степени r ,
наименее уклоняющийся от нуля в равномерной метрике на сегмен-
те
r
Δ , а через
()
()
1
,,
k
k
r
x
xK его корни. Через (, )
rk
Pt
обозначим по-
лином, интерполирующий функцию ()t
ϕ
на сегменте
k
Δ
по узлам
() ()
1
,,
kk
r
x
xK . Воспользуемся обозначениями ,, ,
ii
ik k
At n введенными
при построении квадратурных формул (2.3.5)–(2.3.8). Разделим каж-
дый из сегментов
1
[, ]
ii
kk
tt
+
на 1
i
i
k
k
n
m
r
⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
равных частей и введем
обозначения:
,
.
i
kl
i
k
kl
t
m
+
=
Интеграл (2.3.1) будем вычислять по квадратурным формулам:
(
)
,1
1
,
1
,,1
0
() , ,
()
i
kl
k
i
i
kl
ii
t
m
j
ir klkl
i
p
kAl
t
Ptt
Kd
t
+
−
−
+
+λ
=− =
⎡⎤
ρτ ψ
⎣⎦
ρψ = τ+
τ−
∑∑
∫
(
)
,1
,
2
,,1
0
() , ,
i
jl
i
jl
ii
t
s
i r jl jl
p
l
t
Ptt
d
t
+
−
+
+λ
=
⎡⎤
ρτ ψ
⎣⎦
+τ+
τ−
∑
∫
   При t ∈ [ − Ai − 1, − Ai + 1] U [ Ai − 1, Ai + 1] интеграл Gϕ будем вы-
числять по квадратурной формуле
                                                      (i )
                                              Ai − 2 tk +1
                                                                 ϕ (τ)
                       G ( ρi ψ ) =             ∑ ∫ τ N− t p d τ + RN ,                                      (2.3.8)
                                             k =− A +1 t (
                                                   i
                                                           )
                                                          (i )
                                                          k


где ϕ N ( τ) = Pnk ( ϕ ( τ ) ) при τ ∈ [tr , tk +1 ].
   Теорема 2.3.4. Погрешность квадратурных формул (2.3.7)–(2.3.8),
предназначенных для вычисления интеграла Коши–Адамара (2.3.2)
при ϕ ( 0) = 0 на классе Wρr (1), i = 1, 2,3, равна RN = O ( N − r + p ln N ).
                                         i


   Обозначим через Tr (t , Δ k ) полином Чебышева I рода степени r ,
наименее уклоняющийся от нуля в равномерной метрике на сегмен-
те Δ r , а через x1( k ) ,K , xr( k ) его корни. Через Pr (t , Δ k ) обозначим по-
лином, интерполирующий функцию ϕ(t ) на сегменте Δ k по узлам
x1( k ) ,K , xr( k ) . Воспользуемся обозначениями Ai , tki , nki , введенными
при построении квадратурных формул (2.3.5)–(2.3.8). Разделим каж-
                                             ⎡ ni ⎤
дый из сегментов [tki , tki +1 ] на mki = ⎢ k ⎥ + 1 равных частей и введем
                                             ⎢⎣ r ⎥⎦
обозначения:
                                           k +l
                                  tki ,l =       .
                                            mki
    Интеграл (2.3.1) будем вычислять по квадратурным формулам:
                                               i
                               j −1 mk −1 tk ,l +1 ρi ( τ) Pr        (ψ, ⎡⎣t    i       i       ⎤
                                                                                k ,l , tk ,l +1 ⎦   ) dτ +
             K (ρi ψ) =       ∑ ∑ ∫                                  τ−t
                                                                               p +λ
                            k =− Ai l =0 t i
                                          k ,l

                                 i
                           s − 2 t j ,l +1 ρi ( τ) Pr   (ψ, ⎡⎣t   i       i        ⎤
                                                                  j ,l , t j ,l +1 ⎦   ) dτ +
                       +   ∑ ∫                          τ−t
                                                                 p +λ
                           l =0 t i
                                  j ,l




                                                        46

Страницы